Задание 1429

Дано: окружность \(\omega\) с центром \(O\) и радиусом \(r\), точка \(A\), \(OA = d > r\). Построить: секущую \(ABC\) (\(B\), \(C \in \omega\), \(B\) между \(A\) и \(C\)), для которой \(AB = 2BC\).

Анализ. Если \(AB = 2BC\), то \(AC = \dfrac{3}{2}AB\), то есть \(\overrightarrow{AB} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\): точка \(B\) — образ точки \(C\) при гомотетии \(H\) с центром \(A\) и коэффициентом \(k = \dfrac{2}{3}\). Так как \(C \in \omega\), точка \(B\) лежит на образе \(\omega'\) окружности \(\omega\) и на самой \(\omega\).

Построение.

1. На отрезке \(AO\) строим точку \(O'\), для которой \(AO' = \dfrac{2}{3}AO\) (делим \(AO\) на три равные части).
2. Проводим окружность \(\omega'\) с центром \(O'\) радиуса \(\dfrac{2}{3}r\) — это образ \(\omega\) при гомотетии \(H\).
3. Отмечаем точку \(B\) пересечения \(\omega\) и \(\omega'\). Прямая \(AB\) — искомая секущая.

Доказательство. \(B \in \omega'\), поэтому \(B = H(C)\) для некоторой точки \(C \in \omega\); \(C\) лежит на луче \(AB\) и \(AC = \dfrac{3}{2}AB\), поэтому \(B\) лежит между \(A\) и \(C\) и \(BC = \dfrac{1}{2}AB\), то есть \(AB = 2BC\). Обе точки \(B\) и \(C\) лежат на \(\omega\).

Исследование. Расстояние между центрами \(OO' = \dfrac{1}{3}d\), радиусы \(r\) и \(\dfrac{2}{3}r\). Окружности имеют общую точку, если \(r - \dfrac{2}{3}r \le \dfrac{1}{3}d \le r + \dfrac{2}{3}r\), то есть \(r \le d \le 5r\). Так как \(d > r\):

• при \(r < d < 5r\) — две точки \(B\), две секущие (симметричные относительно \(AO\));
• при \(d = 5r\) — одна секущая, прямая \(AO\): \(AB = 4r\), \(BC = 2r\);
• при \(d > 5r\) — решений нет.

Проверка через теорему о секущих: \(AB \cdot AC = d^2 - r^2\), то есть \(\dfrac{3}{2}AB^2 = d^2 - r^2\), а хорда \(BC = \dfrac{1}{2}AB\) не больше диаметра \(2r\), — получаем то же условие \(d \le 5r\).

В ответах учебника указание: гомотетия «с центром в точке пересечения высот» и \(k = \dfrac{2}{3}\); это опечатка — центр гомотетии в данной точке \(A\).