Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 1430

Условие (кратко)

Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Доказать, что BD² = AB · BC − AD · DC.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$BD$$ — биссектриса, $D \in AC$ . Доказать: $BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC$ .

Проведём окружность, описанную около $\triangle ABC$ , и пусть луч $$BD$$ вторично пересекает её в точке $$E$$ . Точка $$D$$ лежит внутри круга, поэтому $$D$$ — между $$B$$ и $$E$$ , а $$E$$ лежит на дуге $$AC$$ , не содержащей $$B$$ .
Сравним $\triangle ABE$ и $\triangle DBC$ . $\angle ABE = \angle DBC$ , так как $$BD$$ — биссектриса. $\angle AEB = \angle ACB$ — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $$AB$$ (точки $$E$$ и $$C$$ лежат по одну сторону от хорды $$AB$$ ). По первому признаку подобия $\triangle ABE \sim \triangle DBC$ .
Из подобия $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BE}{BC}$ , то есть $AB \cdot BC = BD \cdot BE = BD\,(BD + DE) = BD^2 + BD \cdot DE$ .
Хорды $$AC$$ и $$BE$$ пересекаются в точке $$D$$ , поэтому по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (п. 136) $BD \cdot DE = AD \cdot DC$ .
Подставляя, получаем $AB \cdot BC = BD^2 + AD \cdot DC$ , то есть $BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC$ .

Ответ

Утверждение доказано: BD² = AB · BC − AD · DC.

Почему так

Подобие треугольников ABE и DBC даёт AB · BC = BD · BE, а теорема о пересекающихся хордах — BD · DE = AD · DC.

Задание 1430