Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 1431

Условие (кратко)

Применяя гомотетию и результат задачи 909, доказать, что у неравностороннего треугольника основания высот, середины сторон и середины отрезков от вершин до ортоцентра лежат на одной окружности, её центр — на прямой Эйлера, радиус равен R/2.

Решение

Дано: неравносторонний $\triangle ABC$ , $$O$$ и $$R$$ — центр и радиус описанной окружности $\omega$ , $$H$$ — ортоцентр (точка пересечения прямых, содержащих высоты). Доказать: девять точек — основания высот, середины сторон и середины отрезков $$HA$$ , $$HB$$ , $$HC$$ — лежат на одной окружности; её центр лежит на прямой Эйлера $$OH$$ , а радиус равен $\dfrac{R}{2}$ .

По задаче 909 точки $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ , симметричные $$H$$ относительно прямых $$BC$$ , $$CA$$ , $$AB$$ , и точки $$A_2$$ , $$B_2$$ , $$C_2$$ , симметричные $$H$$ относительно середин сторон $$BC$$ , $$CA$$ , $$AB$$ , лежат на $\omega$ . На $\omega$ лежат и сами вершины $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ .
Рассмотрим гомотетию $$G$$ с центром $$H$$ и коэффициентом $k = \dfrac{1}{2}$ : она переводит любую точку $$X$$ в середину отрезка $$HX$$ .
$$G(A)$$ , $$G(B)$$ , $$G(C)$$ — середины отрезков $$HA$$ , $$HB$$ , $$HC$$ .
$$A_1$$ симметрична $$H$$ относительно прямой $$BC$$ , поэтому середина $$HA_1$$ — основание перпендикуляра из $$H$$ на $$BC$$ , то есть основание высоты из $$A$$ . Значит, $$G(A_1)$$ , $$G(B_1)$$ , $$G(C_1)$$ — основания высот.
$$A_2$$ симметрична $$H$$ относительно середины $$BC$$ , поэтому середина $$HA_2$$ — середина стороны $$BC$$ . Значит, $$G(A_2)$$ , $$G(B_2)$$ , $$G(C_2)$$ — середины сторон.
При гомотетии окружность $\omega$ с центром $$O$$ и радиусом $$R$$ переходит в окружность $\omega'$ с центром $$O' = G(O)$$ — серединой отрезка $$OH$$ — и радиусом $\dfrac{1}{2}R$ . Все девять точек — образы точек $\omega$ , поэтому лежат на $\omega'$ .
У неравностороннего треугольника $O \ne H$ , и прямая $$OH$$ — прямая Эйлера. Центр $$O'$$ — середина $$OH$$ — лежит на ней.

Ответ

Утверждение доказано: гомотетия с центром H и k = 1/2 переводит описанную окружность в окружность девяти точек с центром в середине OH и радиусом R/2.

Почему так

Гомотетия с центром в ортоцентре и k = 1/2 переводит вершины и точки из задачи 909 в девять точек, а описанную окружность — в окружность радиуса R/2.

Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».

Задание 1431

Задача 1