Задача 1
Развивай мышление. В вершинах треугольников фигуры записаны цифры 0–9 (каждая по разу), в треугольниках — суммы вершин; часть сумм стёрта. Какая цифра в закрашенной вершине? Задача повышенной трудности.
Решение
Обозначим вершины: верх \(T\), левая и правая верхние \(A\) и \(B\), центр вверху \(O\), левая и правая средние \(L\) и \(R\) (закрашена \(R\)), центр внизу \(Q\), нижние левая и правая \(C\) и \(D\), низ \(N\).
Уравнения по треугольникам: \(T + A + O = 13\), \(T + B + O = 10\), \(A + L + O = 14\), \(L + O + Q = 17\), \(L + C + Q = 18\), \(C + Q + N = 14\), \(D + Q + N = 15\).
Из первых двух \(A - B = 3\), из двух последних \(D - C = 1\). Из \(L + O + Q = 17\) и \(L + C + Q = 18\) получаем \(C = O + 1\). Перебор цифр без повторов даёт единственный набор: \(T = 7\), \(A = 6\), \(B = 3\), \(O = 0\), \(L = 8\), \(Q = 9\), \(C = 1\), \(D = 2\), \(N = 4\). Осталась неиспользованной цифра 5 — она и стоит в закрашенной вершине.
Короче: сумма всех цифр \(0 + 1 + \ldots + 9 = 45\), а цифры девяти других вершин в сумме дают \(40\), значит, \(R = 5\).
Ответ
Каждая цифра встречается ровно один раз, поэтому недостающая находится из суммы 0 + 1 + … + 9 = 45.
Подробнее — в теме «Сложение натуральных чисел и его свойства».