Известно, что a + b = 40. Чему равно 7a + 7b?

Нельзя найти, не зная a и b

Упрощение выражений — 5 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Чтобы сумму (или разность) умножить на число, можно умножить на это число каждое слагаемое (уменьшаемое и вычитаемое), а результаты сложить (вычесть). По этому правилу подобные слагаемые складывают, как одинаковые предметы: $$4c + 5c = 9c$$ .

(a + b)c = ac + bc, \qquad (a - b)c = ac - bc

Подробное объяснение

В классе стоят 7 парт у окна и 5 парт у стены, за каждой сидят по 3 ученика. Сколько всего учеников? Можно сначала сосчитать парты, $$7 + 5 = 12$$ , и умножить на 3, получится 36. А можно посчитать учеников у окна, $7 \cdot 3 = 21$ , у стены — $5 \cdot 3 = 15$ , и сложить: $$21 + 15 = 36$$ . Ответ одинаковый. Так работает распределительное свойство умножения.

Распределительное свойство

Относительно сложения: $$(a + b)c = ac + bc$$ . Множитель $$c$$ «распределяется» на каждое слагаемое в скобках. Слагаемых может быть сколько угодно: $(2 + 6 + 1) \cdot 5 = 2 \cdot 5 + 6 \cdot 5 + 1 \cdot 5$ .

Относительно вычитания: $$(a - b)c = ac - bc$$ . На число умножают и уменьшаемое, и вычитаемое.

Удобно представлять это площадью. Прямоугольник высотой 3 и длиной $$7 + 5$$ состоит из двух прямоугольников — $7 \times 3$ и $5 \times 3$ . Площадь целого равна сумме площадей частей.

Прямоугольник высотой 3 и длиной 7 + 5 разрезан на два — 7 на 3 и 5 на 3. Площадь целого равна сумме площадей частей, (7 + 5) · 3 = 7 · 3 + 5 · 3 = 36. — Умножить сумму на число — всё равно что сложить площади двух частей прямоугольника.

Правило в обе стороны

Равенство можно читать слева направо — раскрыть скобки: $$6(x + 4) = 6x + 24$$ . А можно справа налево — вынести общий множитель за скобки: $13 \cdot 47 + 13 \cdot 53 = 13 \cdot (47 + 53) = 1300$ . Второе направление часто сильно экономит вычисления.

Ещё приём для счёта в уме: $49 \cdot 6 = (50 - 1) \cdot 6 = 300 - 6 = 294$ , а $8 \cdot 102 = 8 \cdot (100 + 2) = 800 + 16 = 816$ .

Подобные слагаемые

Слагаемые $$4c$$ и $$5c$$ отличаются только числом перед буквой. Число перед буквой называют коэффициентом. Такие слагаемые складывают так:

$$4c + 5c = (4 + 5)c = 9c$$ — «четыре це плюс пять це равно девяти це».

Похоже на яблоки: 4 яблока и 5 яблок — это 9 яблок. А вот $$4c + 5$$ так не сложить: $$5$$ — это не «пять це».

Если перед буквой нет числа, коэффициент равен 1: $$x + 61x = 62x$$ , $$102l - l = 101l$$ .

Произведение с одной буквой

Сочетательное и переместительное свойства умножения позволяют собрать все числа вместе: $3t \cdot 6 \cdot 10 = (3 \cdot 6 \cdot 10)t = 180t$ . Буква остаётся одна, а числа перемножаются.

Уравнения с подобными слагаемыми

Уравнение $$6x + 4x + 32 = 92$$ сначала упрощают: $$6x + 4x = 10x$$ . Получается $$10x + 32 = 92$$ , дальше — как обычно: $$10x = 60$$ , $$x = 6$$ . Проверка: $$36 + 24 + 32 = 92$$ .

Так же решают задачи «на части»: одну часть обозначают буквой $$x$$ , а всё остальное выражают через неё.

Как решать задачи

Найди в выражении слагаемые с одной и той же буквой и сложи (вычти) их коэффициенты.
Числа без буквы сложи отдельно — их с буквенными слагаемыми не смешивай.
Если есть общий множитель у двух произведений — вынеси его за скобки, часто получится круглое число.
В уравнении сначала приведи подобные, потом найди неизвестное и сделай проверку подстановкой.
В текстовой задаче обозначь меньшую величину (или одну часть) буквой и составь уравнение.

Разобранные примеры

База

Упростить и найти значение

Условие

Упростите выражение $$23k + 77k$$ и найдите его значение при $$k = 48$$ .

Решение

$$23k + 77k = (23 + 77)k = 100k$$ . При $$k = 48$$ получаем $100 \cdot 48 = 4800$ .

Ответ: 100k; 4800

Средний

Счёт с вынесением множителя

Условие

Вычислите $146 \cdot 38 - 46 \cdot 38$ .

Решение

Общий множитель 38: $(146 - 46) \cdot 38 = 100 \cdot 38 = 3800$ . Считать каждое произведение отдельно было бы намного дольше.

Ответ: 3800

Сложный

Задача на части

Условие

Для теста берут 5 частей муки и 3 части воды (по массе). Муки взяли на 400 г больше, чем воды. Сколько граммов весит тесто?

Дано

мука — 5 частей
вода — 3 части
разница 400 г

Найти

массу теста

Решение

Пусть одна часть $$x$$ г. Мука $$5x$$ , вода $$3x$$ . Разница $$5x - 3x = 2x = 400$$ , $$x = 200$$ г. Тесто: $5x + 3x = 8x = 8 \cdot 200 = 1600$ г.

Ответ: 1600 г

Типичные ошибки

Умножают на число только первое слагаемое

Почему неверно

Пишут $(20 + 3) \cdot 4 = 80 + 3 = 83$ . Но на 4 умножается вся сумма: 23 группы по 4 — это 92, а не 83.

Как правильно

Умножай на число каждое слагаемое в скобках: $(20 + 3) \cdot 4 = 80 + 12 = 92$ .

Складывают буквенное слагаемое с числом

Почему неверно

Пишут $$7a + 3 = 10a$$ . Но $$7a$$ — это семь раз по $$a$$ , а 3 — просто три. Проверка при $$a = 2$$ даёт $7 \cdot 2 + 3 = 17$ , а $10 \cdot 2 = 20$ .

Как правильно

Складывают только подобные слагаемые. Выражение $$7a + 3$$ проще уже не записать.

Забывают, что у буквы без числа коэффициент 1

Почему неверно

Упрощают $$15x - x$$ как $$15x$$ или как $$14$$ — букву «теряют» или считают за ноль.

Как правильно

$$x = 1x$$ , поэтому $$15x - x = (15 - 1)x = 14x$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Упростите выражение: а) 14m + 6m; б) 30k − k.

Подсказка

Сложите или вычтите числа перед буквой. У буквы без числа множитель 1.

Решение

а) $$14m + 6m = (14 + 6)m = 20m$$ . б) $$30k - k = 30k - 1k = (30 - 1)k = 29k$$ .

Ответ

а) 20m; б) 29k

База Задача 2

Вычислите удобным способом 9 · 53 + 9 · 47.

Подсказка

Общий множитель 9 можно вынести за скобки.

Решение

$9 \cdot 53 + 9 \cdot 47 = 9 \cdot (53 + 47) = 9 \cdot 100 = 900$ .

Ответ

900

Средний Задача 3

Решите уравнение 8y + 5y − 3y = 470.

Решение

Приводим подобные слагаемые: $$(8 + 5 - 3)y = 10y$$ . Уравнение $$10y = 470$$ , откуда $$y = 47$$ . Проверка: $$376 + 235 - 141 = 470$$ .

Ответ

y = 47

Средний Задача 4

Найдите значение выражения 37a + 18 + 63a + 22 при a = 15.

Подсказка

Сначала упростите выражение, потом подставляйте.

Решение

Упрощаем: $$(37a + 63a) + (18 + 22) = 100a + 40$$ . При $$a = 15$$ получаем $$1500 + 40 = 1540$$ .

Ответ

1540

Сложный Задача 5

В компот кладут 3 части вишни, 2 части сахара и 15 частей воды (по массе). Вишни взяли на 600 г больше, чем сахара. Сколько граммов весь компот?

Подсказка

Обозначьте одну часть буквой x.

Решение

Пусть одна часть $$x$$ г. Вишни $$3x$$ , сахара $$2x$$ , разница $$3x - 2x = x = 600$$ г. Весь компот $3x + 2x + 15x = 20x = 20 \cdot 600 = 12\,000$ г.

Ответ

12 000 г (12 кг)

Сложный Задача 6

У Димы марок в 3 раза больше, чем у Саши, а у Саши на 36 марок меньше, чем у Димы. Сколько марок у каждого?

Решение

Пусть у Саши $$x$$ марок, у Димы $$3x$$ . Разница $$3x - x = 2x = 36$$ , $$x = 18$$ . У Димы $3 \cdot 18 = 54$ .

Ответ

У Саши 18, у Димы 54

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и нарисуйте прямоугольник 3 × 12 клеток, разделённый линией на части 7 и 5. Пусть ребёнок посчитает клетки двумя способами: целиком ( $12 \cdot 3$ ) и по частям ( $7 \cdot 3 + 5 \cdot 3$ ). Потом про подобные слагаемые: «4 карандаша плюс 5 карандашей — 9 карандашей; $$4c + 5c = 9c$$ , буква — это как слово „карандаш“».

Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равно $(10 - 1) \cdot 7$ и как это посчитать в уме? 2) Можно ли упростить $$8b + 8$$ ? Почему? 3) Как найти $$6a + 6b$$ , если $$a + b = 50$$ ?

На что обратить внимание. Главная ошибка — множитель «доходит» только до первого слагаемого в скобках. Проверяйте упрощение подстановкой числа вместо буквы: значения до и после упрощения должны совпасть.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 15	3.182, 3.183, 3.184, 3.185, 3.186, 3.187, 3.188, 3.189, 3.190, 3.191, 3.192, 3.193, 3.194, 3.195, 3.196, 3.197, 3.198, 3.199, 3.200, 3.201, 3.202, 3.203, 3.204, 3.205, 3.206, 3.207, 3.208, 3.209, 3.210, 3.211, 3.212, 3.213, 3.214, 3.215, 3.216, 3.217, 3.218, 3.219, 3.220, 3.221, 3.222, 3.223, 3.224, 3.225, 3.226, 3.227, 3.228, 3.229, 3.230, 3.231, 3.232, 3.233, 3.234, 3.235, 3.236, 3.237, 3.238, 3.239, 3.240, 3.241, 3.242, 3.243, 3.244, 3.245, 3.246, 3.247, 3.248, 3.249, 3.250, 3.251, 3.252, 3.253, 3.254, 3.255, 3.256, 3.257, 3.258, 3.259, 3.260, 3.261, 3.262, 3.263