Какие равенства верны при любых натуральных a, b и c?

Равенство a + b = b + a

Равенство (a + b) + c = a + (b + c)

Каждое из двух слагаемых увеличили на 10. Что стало с суммой?

Увеличилась в 2 раза

Сложение и его свойства — 5 класс, математика: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Цифры и числа. Запись натуральных чисел

Коротко о главном

Результат сложения называют суммой, а числа, которые складывают, — слагаемыми. От перестановки слагаемых сумма не меняется, слагаемые можно группировать как удобно, а прибавление нуля число не меняет.

a + b = b + a, \qquad (a + b) + c = a + (b + c), \qquad a + 0 = a

Подробное объяснение

В копилке 6 монет, вы кладёте ещё 2. Сколько стало? Можно добавлять по одной: 6, потом 7, потом 8. Это и есть сложение: прибавить к числу 2 — значит два раза прибавить единицу. Прибавив к натуральному числу единицу, получаем следующее за ним число: $$99 + 1 = 100$$ .

Слагаемые и сумма

В записи $$6 + 2 = 8$$ числа $$6$$ и $$2$$ — слагаемые, число $$8$$ — сумма. Суммой называют и саму запись $$6 + 2$$ . Поэтому «сумма чисел 24 и 76» — это $$24 + 76$$ . Читают так: «сумма двадцати четырёх и семидесяти шести».

На координатной прямой сложение — это шаги вправо. Чтобы найти $$6 + 2$$ , встаём в точку $$6$$ и делаем $$2$$ единичных шага: попадаем в точку $$8$$ .

Переместительное свойство

От перестановки слагаемых сумма не меняется: $$a + b = b + a$$ .

Координатная прямая от 0 до 8. Сверху синие дуги-прыжки +4 и +3 из точки 0 приводят в точку 7, снизу красные прыжки +3 и +4 тоже приводят в точку 7. — 4 + 3 = 3 + 4 = 7 — от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Это удобно: $$3 + 48$$ проще считать как $$48 + 3$$ — к большому числу прибавить маленькое.

Сочетательное свойство

Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно прибавить сначала первое слагаемое, а потом второе: $$a + (b + c) = (a + b) + c$$ .

Координатная прямая от 0 до 9. Сверху синие прыжки +2, +3, +4 приводят в точку 9, снизу красные прыжки +2 и один большой +(3 + 4) тоже приводят в точку 9. — (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 — слагаемые можно группировать как удобно.

Раз результат от скобок не зависит, сумму нескольких чисел пишут без скобок: $$2 + 3 + 4 = 9$$ . А вместе два свойства дают главный приём быстрого счёта: слагаемые можно переставлять и группировать как угодно. Ищите пары, которые дают круглые числа: $$37 + 58 + 63 = (37 + 63) + 58 = 100 + 58 = 158$$ .

Сложение с нулём

Прибавление нуля не меняет число: $$a + 0 = 0 + a = a$$ . Нуль шагов — стоим на месте.

Разрядные слагаемые

Любое число — сумма его разрядов. В числе $5\,073$ пять тысяч, нуль сотен, семь десятков и три единицы:

5\,073 = 5 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 3

Такую запись называют разложением числа по разрядным слагаемым. На нём держится сложение столбиком: единицы складывают с единицами, десятки с десятками. Если в разряде набралось 10 или больше, десяток переносят в следующий разряд.

Сумма длин

Если точка $$M$$ лежит на отрезке $$KP$$ , то $$KP = KM + MP$$ : длина отрезка равна сумме длин его частей. Так же складывают стороны многоугольника, чтобы найти периметр.

Как решать задачи

Прочитайте условие и выпишите, что известно и что нужно найти.
Если величины заданы через «на … больше», сначала найдите каждую величину отдельно.
Приведите величины к одним единицам (граммы с граммами, миллиметры с миллиметрами).
Складывайте, пользуясь свойствами: сначала пары, дающие круглые числа.
Прикиньте ответ округлением и проверьте, что он разумен.

Разобранные примеры

База

Удобный порядок сложения

Условие

Вычислите $$156 + 287 + 44 + 13$$ .

Решение

Переставим и сгруппируем слагаемые:

\[(156 + 44) + (287 + 13) = 200 + 300 = 500\]

Ответ: 500

Средний

Сколько всего собрали

Условие

Мама с сыном собирали грибы. Сын собрал 2 кг 350 г, а мама — на 900 г больше. Сколько граммов грибов они собрали вместе?

Дано

сын — 2 кг 350 г
мама — на 900 г больше

Найти

сколько вместе

Решение

$$2$$ кг $$350$$ г $= 2\,350$ г — собрал сын.
$2\,350 + 900 = 3\,250$ (г) — собрала мама.
$2\,350 + 3\,250 = 5\,600$ (г) — собрали вместе.

Ответ: 5600 г (5 кг 600 г)

Сложный

Восстановить стёртые цифры

Условие

В примере на сложение столбиком стёрлись две цифры (на их месте квадратики): 6□8 + □57 = 1305. Восстановите их.

Решение

Идём справа налево, как при сложении столбиком.

Единицы: $$8 + 7 = 15$$ — пишем $$5$$ , $$1$$ десяток переносим.

Десятки: $\square + 5 + 1$ должно оканчиваться на $$0$$ . Это возможно только если сумма равна $$10$$ , значит, $\square = 4$ . Пишем $$0$$ , $$1$$ сотню переносим.

Сотни: $6 + \square + 1 = 13$ , значит, $\square = 6$ .

Проверка: $648 + 657 = 1\,305$ — верно.

Ответ: 648 + 657 = 1305

Типичные ошибки

Забывают перенести десяток в следующий разряд

Почему неверно

При сложении $$368 + 457$$ пишут $$715$$ : сложили $$8 + 7 = 15$$ , записали $$5$$ , а единицу потеряли. Так же в десятках.

Как правильно

Над следующим разрядом ставьте маленькую единицу-перенос: $$8 + 7 = 15$$ — пишем $$5$$ , $$1$$ в уме; $$6 + 5 + 1 = 12$$ — пишем $$2$$ , $$1$$ в уме; $$3 + 4 + 1 = 8$$ . Получается $$825$$ . Прикидка: $$370 + 460 = 830$$ — близко.

Складывают величины в разных единицах

Почему неверно

«1 кг 450 г и ещё 800 г» складывают как $$1 + 450 + 800$$ или получают «1 кг 1250 г» и на этом останавливаются.

Как правильно

Переведите всё в одну единицу: $1\,450 + 800 = 2\,250$ г $$= 2$$ кг $$250$$ г. В 1 кг 1000 г, в 1 см 10 мм.

Считают, что «на … больше» — это уже ответ

Почему неверно

В задаче «первый собрал 220 кг, второй — на 40 кг больше» к ответу берут $$220 + 40 = 260$$ и называют это «всего».

Как правильно

$$260$$ кг — это только второй. Чтобы найти, сколько вместе, сложите ещё раз: $$220 + 260 = 480$$ кг. Помогает короткая запись условия: каждому — своя строчка.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите сумму 3 999 + 1 и назовите в записи слагаемые и сумму.

Подсказка

Прибавить 1 — значит перейти к следующему числу натурального ряда.

Решение

Следующее за $3\,999$ число — $4\,000$ . Слагаемые — $3\,999$ и $$1$$ , сумма — $4\,000$ .

Ответ

4000; слагаемые 3999 и 1, сумма 4000

База Задача 2

Вычислите удобным способом 258 + 179 + 42.

Подсказка

Какие два слагаемых дают круглое число?

Решение

Переставим слагаемые и сгруппируем их — $$258 + 179 + 42 = (258 + 42) + 179 = 300 + 179 = 479$$ .

Ответ

479

Средний Задача 3

В первой коробке 146 пуговиц, во второй — на 38 больше, чем в первой, а в третьей — столько, сколько в первых двух вместе. Сколько пуговиц в трёх коробках?

Подсказка

Сначала найдите число пуговиц во второй коробке, затем в третьей.

Решение

$$146 + 38 = 184$$ пуговицы во второй коробке.
$$146 + 184 = 330$$ пуговиц в третьей коробке.
$$146 + 184 + 330 = 660$$ пуговиц всего.

Ответ

660 пуговиц

Средний Задача 4

Точка C лежит на отрезке AB, а точка D — на отрезке CB. AC = 27 мм, CD = 18 мм, DB = 35 мм. Найдите длину отрезка AB в сантиметрах и миллиметрах.

Подсказка

Длина отрезка равна сумме длин его частей.

Решение

$$AB = AC + CD + DB = 27 + 18 + 35 = 80$$ мм, а $$80$$ мм $$= 8$$ см.

Ответ

8 см (80 мм)

Сложный Задача 5

Найдите сумму всех чисел от 1 до 40.

Подсказка

Сгруппируйте первое число с последним, второе — с предпоследним и так далее.

Решение

Складываем парами: $$1 + 40 = 41$$ , $$2 + 39 = 41$$ , …, $$20 + 21 = 41$$ . Пар всего $$20$$ , поэтому сумма равна $20 \cdot 41 = 820$ .

Ответ

820

Сложный Задача 6

В сумме 5 381 + 2 647 первое слагаемое увеличили на 219, а второе — на 353. На сколько увеличилась сумма и чему она стала равна?

Подсказка

Сумма увеличивается на столько, на сколько вместе увеличились слагаемые.

Решение

Сумма увеличилась на $$219 + 353 = 572$$ .

Была сумма $5\,381 + 2\,647 = 8\,028$ , стала $8\,028 + 572 = 8\,600$ .

Проверка: $5\,600 + 3\,000 = 8\,600$ .

Ответ

На 572; стала 8600

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листке числовую прямую от 0 до 10 и дайте ребёнку фишку. Пусть покажет $$4 + 3$$ (встать на 4, три шага вправо) и $$3 + 4$$ — придёт в ту же точку. Потом положите на стол три кучки монет и спросите, в каком порядке их удобнее сосчитать: так ребёнок сам придумает группировку «до круглого».

Вопросы для проверки понимания: 1) Как называют числа при сложении и результат? 2) Почему $$999 + 37 + 1$$ легко сосчитать в уме? 3) Что будет с суммой, если одно слагаемое увеличить на 5, а другое уменьшить на 5?

На что обратить внимание. Проверьте перенос при сложении столбиком и перевод единиц (кг и г, см и мм). В задачах со словами «на … больше» попросите ребёнка сначала сказать, что найдено каждым действием.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 8	2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18, 2.19, 2.20, 2.21, 2.22, 2.23, 2.24, 2.25, 2.26, 2.27, 2.28, 2.29, 2.30, 2.31, 2.32, 2.33, 2.34, 2.35, 2.36, 2.37, 2.38, 2.39, 2.40, 2.41, 2.42, 2.43, 2.44, 2.45, 2.46, 2.47, 2.48, 2.49, 2.50, 2.51, 2.52, 2.53, 2.54, 2.55, 2.56, 2.57, 2.58, 2.59, 2.60