Задача 1
Условие (кратко)
Шестилетний Колмогоров заметил, что 1² = 1, 2² = 1 + 3, 3² = 1 + 3 + 5, 4² = 1 + 3 + 5 + 7. Сформулировать это свойство и проверить для следующих квадратов.
Решение
Свойство: квадрат натурального числа \(n\) равен сумме первых \(n\) нечётных чисел.
Проверка:
- \(5^2 = 25\) и \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25\);
- \(6^2 = 36\) и \(25 + 11 = 36\);
- \(7^2 = 49\) и \(36 + 13 = 49\).
Наглядно: квадрат из \(n \times n\) клеток получается из квадрата \((n-1) \times (n-1)\) добавлением «уголка» из \(2n - 1\) клеток — это и есть очередное нечётное число.
Ответ
Квадрат числа n равен сумме первых n нечётных чисел; например, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
Почему так
Каждый следующий квадрат больше предыдущего на очередное нечётное число.
Подробнее — в теме «Степень с натуральным показателем».