Какое утверждение верно для равенства 54 = 6 · 9?

9 — делитель числа 54

54 — делитель числа 6

Сколько чисел, кратных 5, существует?

Столько же, сколько делителей у 5

Какие утверждения верны?

Единица — делитель любого натурального числа

Наименьшее кратное числа — само это число

Наибольший делитель числа — само это число

У составного числа ровно два делителя

Делители и кратные — 5 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Деление с остатком

Коротко о главном

Если натуральное число $$m$$ делится на натуральное число $$n$$ без остатка, то $$n$$ — делитель числа $$m$$ , а $$m$$ — кратное числа $$n$$ . Число с двумя делителями (1 и само число) — простое, с большим числом делителей — составное.

m = n \cdot a \quad\Longrightarrow\quad n \text{ — делитель } m,\ \ m \text{ — кратное } n

Подробное объяснение

У вас 12 печенек, и их хочется разложить по тарелкам поровну, чтобы ничего не осталось. На сколько тарелок это получится? На 1, 2, 3, 4, 6 или 12. А на 5 — нет: $12 = 5 \cdot 2 + 2$ , две печеньки лишние. Числа 1, 2, 3, 4, 6, 12 и называют делителями числа 12.

Делитель и кратное

Число $$m$$ делится на $$n$$ без остатка, если найдётся натуральное $$a$$ , для которого $m = n \cdot a$ . Тогда:

$$n$$ — делитель числа $$m$$ ;
$$m$$ — кратное числа $$n$$ .

Пример: $35 = 5 \cdot 7$ . Значит, 5 и 7 — делители 35, а 35 — кратное 5 и кратное 7. Можно сказать и так: «35 делится на 5», «35 кратно пяти». Это одно и то же.

Обратите внимание на падежи: «делитель числа 35», «кратное числа 5», но «кратно числу 5».

Делители числа

Делителей у числа всегда конечное количество. Самый маленький — 1, он делит любое число. Самый большой — само число. Больше самого числа делителя не бывает.

Удобный способ найти все делители — разбить число на пары множителей. Для 12:

Двенадцать квадратиков разложены тремя способами — 1 ряд по 12, 2 ряда по 6 и 3 ряда по 4. Ниже подпись — делители 12 равны 1, 2, 3, 4, 6, 12. — Каждая раскладка 12 предметов поровну даёт пару делителей числа 12.

12 = 1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4

Идём по числам 1, 2, 3, … и проверяем, делится ли на них число. Когда множители в паре встречаются (или начинают повторяться), можно остановиться — все делители найдены. Каждый множитель пары — делитель.

Запись числа в виде произведения называют разложением на множители: $12 = 3 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Кратные числа

Кратные числа 7 получаются умножением 7 на 1, 2, 3, …: $7, 14, 21, 28, \ldots$ Этот ряд бесконечен. Наименьшее кратное — само число 7.

Общее кратное двух чисел делится на каждое из них. Кратные 4: $4, 8, 12, 16, 20, 24, \ldots$ Из них на 6 делятся $12, 24, \ldots$ Наименьшее общее кратное 4 и 6 — это 12.

Простые и составные числа

Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
Составное число имеет больше двух делителей: 4, 6, 8, 9, 10, 12, …
Число 1 — ни простое, ни составное: у него всего один делитель.

Единственное чётное простое число — 2. Все остальные чётные делятся на 2, значит, у них есть ещё делитель, кроме 1 и себя.

Как решать задачи

Проверить, делится ли $$m$$ на $$n$$ — разделить; если остаток 0, то $$n$$ — делитель $$m$$ .
Найти все делители — перебирать пары множителей от $1 \cdot m$ до встречи множителей.
Найти кратные — умножать число на 1, 2, 3, …
Найти общие делители двух чисел — выписать делители каждого и выбрать одинаковые.
Найти наименьшее общее кратное — выписывать кратные большего числа и проверять, делятся ли они на меньшее.
Простое или составное — если нашёлся делитель, кроме 1 и самого числа, число составное.

Разобранные примеры

База

Все делители числа

Условие

Выпишите все делители числа 30.

Решение

Ищем пары множителей: $30 = 1 \cdot 30 = 2 \cdot 15 = 3 \cdot 10 = 5 \cdot 6$ . На 4 число 30 не делится. После 5 идёт 6 — он уже есть в паре $5 \cdot 6$ , значит, дальше пары повторятся.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Средний

Общие делители

Условие

Найдите все общие делители чисел 20 и 32 и укажите наибольший.

Решение

Делители 20: $20 = 1 \cdot 20 = 2 \cdot 10 = 4 \cdot 5$ , то есть $$1, 2, 4, 5, 10, 20$$ .

Делители 32: $32 = 1 \cdot 32 = 2 \cdot 16 = 4 \cdot 8$ , то есть $$1, 2, 4, 8, 16, 32$$ .

Одинаковые — $$1, 2, 4$$ . Наибольший из них 4.

Ответ: 1, 2, 4; наибольший — 4

Сложный

Сколько стульев в ряду

Условие

В зале 60 стульев. Их хотят расставить рядами поровну, чтобы рядов было больше 5, а в каждом ряду было больше 5 стульев. Какие варианты возможны?

Решение

Число рядов — делитель 60. Пары множителей: $60 = 1 \cdot 60 = 2 \cdot 30 = 3 \cdot 20 = 4 \cdot 15 = 5 \cdot 12 = 6 \cdot 10$ . Нужно, чтобы оба множителя были больше 5. Подходит только пара $6 \cdot 10$ : 6 рядов по 10 стульев или 10 рядов по 6 стульев.

Ответ: 6 рядов по 10 стульев или 10 рядов по 6 стульев

Типичные ошибки

Путают делитель и кратное

Почему неверно

Говорят «8 — делитель 4», потому что в записи $$8 : 4$$ стоят оба числа. Но делитель — это то, на что делят, и он не больше самого числа.

Как правильно

$8 = 4 \cdot 2$ , поэтому 4 — делитель 8, а 8 — кратное 4. Проверка: делитель не больше числа, кратное не меньше числа.

Забывают 1 и само число среди делителей

Почему неверно

Выписывая делители 15, пишут только 3 и 5. Но 15 делится и на 1, и на 15.

Как правильно

Начинайте перебор с пары $1 \cdot 15$ — тогда крайние делители не потеряются: $$1, 3, 5, 15$$ .

Считают 1 простым числом

Почему неверно

«У единицы нет других делителей, кроме 1 и себя» — кажется, что это простое число. Но у 1 всего один делитель, а у простого их ровно два.

Как правильно

1 — ни простое, ни составное. Самое маленькое простое число — 2.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Выпишите все делители числа 18.

Подсказка

Подбирайте пары множителей, произведение которых равно 18.

Решение

Разбиваем 18 на пары множителей: $18 = 1 \cdot 18 = 2 \cdot 9 = 3 \cdot 6$ . Следующее число 4 уже не подходит (18 на 4 не делится), а 5 тоже нет; после 6 пары начали бы повторяться. Делители: $$1, 2, 3, 6, 9, 18$$ .

Ответ

1, 2, 3, 6, 9, 18

База Задача 2

Назовите наименьшее трёхзначное число, кратное 7.

Подсказка

Разделите 100 на 7 с остатком.

Решение

$100 = 7 \cdot 14 + 2$ , значит, $7 \cdot 14 = 98$ — ещё двузначное. Следующее кратное: $7 \cdot 15 = 105$ .

Ответ

105

Средний Задача 3

Сколько делителей у числа 45? Простое оно или составное?

Решение

Пары множителей: $45 = 1 \cdot 45 = 3 \cdot 15 = 5 \cdot 9$ . Делители: $$1, 3, 5, 9, 15, 45$$ — их 6. Делителей больше двух, значит, число составное.

Ответ

6 делителей, число составное

Средний Задача 4

Конфеты раскладывают поровну в пакеты — по 6 или по 8 штук, и оба раза конфет не остаётся. Каким наименьшим может быть число конфет?

Подсказка

Выписывайте кратные 8 и проверяйте, делятся ли они на 6.

Решение

Число конфет — общее кратное 6 и 8. Кратные 8: $8, 16, 24, \ldots$ Число 8 и 16 на 6 не делятся, а $24 = 6 \cdot 4$ . Значит, наименьшее число — 24.

Ответ

24 конфеты

Сложный Задача 5

Класс из 28 учеников нужно разбить на команды поровну, причём в каждой команде от 3 до 10 человек. Сколько команд может получиться?

Решение

Число человек в команде — делитель 28, лежащий от 3 до 10. Делители 28: $$1, 2, 4, 7, 14, 28$$ . Подходят 4 и 7. По 4 человека — $$28 : 4 = 7$$ команд, по 7 человек — $$28 : 7 = 4$$ команды.

Ответ

7 команд по 4 человека или 4 команды по 7 человек

Сложный Задача 6

Найдите наибольшее двузначное число, которое делится и на 4, и на 9.

Решение

Общие кратные 4 и 9 — это кратные 36 (наименьшее число, делящееся на оба: $36 = 4 \cdot 9$ ). Двузначные из них: $$36$$ и $$72$$ . Следующее, $$108$$ , уже трёхзначное. Наибольшее — 72.

Ответ

72

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите 12 монет или кубиков и попросите ребёнка выложить их прямоугольником: 1 ряд по 12, 2 ряда по 6, 3 по 4. Все количества рядов — делители 12. Попробуйте 5 рядов — не получится, значит, 5 не делитель. Затем выложите 7 кубиков: получится только одна полоска — это простое число.

Вопросы для проверки понимания: 1) Назови все делители числа 20. 2) Назови три числа, кратных 9. 3) Почему 1 не считают простым числом?

На что обратить внимание. Ребёнок должен различать «делитель» и «кратное» и помнить, что делителей конечное число, а кратных бесконечно много. Проверьте, что при переборе делителей он записывает их парами и не теряет 1 и само число.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 18	3.335, 3.336, 3.337, 3.338, 3.339, 3.340, 3.341, 3.342, 3.343, 3.344, 3.345, 3.346, 3.347, 3.348, 3.349, 3.350, 3.351, 3.352, 3.353, 3.354, 3.355, 3.356, 3.357, 3.358, 3.359, 3.360, 3.361, 3.362, 3.363, 3.364, 3.365, 3.366, 3.367, 3.368, 3.369