Что обозначает показатель в записи 7^4?

Сколько раз число 7 берут множителем

Число, которое умножают

На сколько умножают число 7

Какое действие выполняют первым в выражении 2 · 5²?

Возведение 5 в квадрат

Всё равно, результат одинаковый

Степень с натуральным показателем

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Умножение натуральных чисел и его свойства

Коротко о главном

Степень — короткая запись произведения одинаковых множителей. В записи $$a^n$$ число $$a$$ — основание, $$n$$ — показатель: он показывает, сколько раз $$a$$ берут множителем.

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}

Подробное объяснение

Представьте, что вы складываете одинаковые числа: $$6 + 6 + 6 + 6$$ . Писать долго, поэтому придумали умножение: $6 \cdot 4$ . А если одинаковые не слагаемые, а множители, например $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ? Для этого тоже есть сокращённая запись — степень: $$2^6$$ .

Запись 3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243. Число 3 в рамке подписано «основание», маленькая 5 справа сверху — «показатель»; скобка под множителями: «5 одинаковых множителей». — Показатель говорит, сколько раз основание берут множителем.

Основание и показатель

Основание степени — число, которое повторяется множителем. В $$2^6$$ основание 2.
Показатель степени — сколько раз основание взяли множителем. В $$2^6$$ показатель 6. Его пишут маленькой цифрой справа сверху.
Степень — вся запись $$2^6$$ , а значение степени — результат умножения: $$2^6 = 64$$ .

Читают так: $$2^6$$ — «два в шестой степени» или «шестая степень числа два».

Показатель — натуральное число: 1, 2, 3 и так далее. Поэтому тема и называется «степень с натуральным показателем».

Квадрат и куб

Две степени встречаются так часто, что у них есть свои имена.

Квадрат числа — вторая степень: $n^2 = n \cdot n$ . Например, $$9^2 = 81$$ — «девять в квадрате». Название пришло из геометрии: площадь квадрата со стороной 9 см равна $$9^2 = 81$$ см².
Куб числа — третья степень: $n^3 = n \cdot n \cdot n$ . Например, $$4^3 = 64$$ — «четыре в кубе». Кубик с ребром из 4 маленьких кубиков собран из $$4^3 = 64$$ кубиков.

Квадраты чисел от 1 до 10 и кубы чисел от 1 до 10 полезно знать наизусть или держать под рукой: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.

Особые случаи

Первая степень числа равна самому числу: $$8^1 = 8$$ . Показатель 1 обычно не пишут.
Любая степень единицы равна единице: $1^{50} = 1$ .
Степень нуля с натуральным показателем равна нулю: $$0^3 = 0$$ .
Степени десяти: $$10^n$$ — это единица и $$n$$ нулей. $$10^2 = 100$$ , $10^6 = 1\,000\,000$ .

Порядок действий

Возведение в степень считают пятым арифметическим действием (после сложения, вычитания, умножения и деления). Оно выполняется раньше умножения и деления:

действия в скобках;
возведение в степень;
умножение и деление слева направо;
сложение и вычитание слева направо.

Сравните: $3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$ , а $(3 \cdot 2)^2 = 6^2 = 36$ . Степень относится только к тому числу или скобке, рядом с которыми стоит.

Разрядные слагаемые

Степени десяти помогают коротко записывать большие числа. Число 5 208 — это 5 тысяч, 2 сотни и 8 единиц: $5208 = 5 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 8$ . Такую запись называют суммой разрядных слагаемых. Показатель степени десяти показывает, сколько цифр стоит правее данной цифры.

Как решать задачи

Найдите основание и показатель. Если основание в скобках, множителем повторяют всю скобку.
Запишите степень произведением и умножайте по два множителя: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ , $3 \cdot 3 = 9$ , $9 \cdot 3 = 27$ , $27 \cdot 3 = 81$ .
В выражении сначала выполните действия в скобках, затем вычислите все степени и только потом — умножение, деление, сложение, вычитание.
Проверьте себя: $$5^3$$ должно быть больше, чем $5 \cdot 3$ , — значит, 15 точно не ответ.

Разобранные примеры

База

Значение степени

Условие

Найдите значение $$6^3$$ и запишите, как читается эта степень.

Решение

Основание 6, показатель 3 — число 6 берём множителем три раза:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$ .

Читается: «шесть в кубе» или «третья степень числа шесть».

Ответ: 216

Средний

Выражение со степенями

Условие

Найдите значение выражения $(8 - 5)^3 + 2 \cdot 4^2$ .

Решение

В скобках: $$8 - 5 = 3$$ .
Степени: $$3^3 = 27$$ , $$4^2 = 16$$ .
Умножение: $2 \cdot 16 = 32$ .
Сложение: $$27 + 32 = 59$$ .

Ответ: 59

Сложный

Число из разрядных слагаемых

Условие

Запишите цифрами число $3 \cdot 10^7 + 6 \cdot 10^4 + 10^2 + 9$ .

Решение

Старшая степень — $$10^7$$ , значит, в числе 8 цифр (разряды от $$10^7$$ до единиц). Расставим цифры по разрядам: в $$10^7$$ — 3, в $$10^6$$ и $$10^5$$ — нули, в $$10^4$$ — 6, в $$10^3$$ — 0, в $$10^2$$ — 1, в десятках — 0, в единицах — 9.

$3 \cdot 10^7 + 6 \cdot 10^4 + 10^2 + 9 = 30\,060\,109$ .

Ответ: 30 060 109

Типичные ошибки

Умножают основание на показатель

Почему неверно

$$5^3$$ — это не $5 \cdot 3 = 15$ . Показатель не множитель, а счётчик: он говорит, сколько раз повторить пятёрку.

Как правильно

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ . Полезно сначала расписать степень произведением, а потом считать.

Возводят в степень всю запись, а не одно число

Почему неверно

В выражении $2 \cdot 3^2$ показатель стоит только у тройки. Если сначала умножить $2 \cdot 3 = 6$ и получить $$6^2 = 36$$ , ответ будет неверным.

Как правильно

Степень вычисляют раньше умножения: $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$ . Если нужно возвести в квадрат произведение, его берут в скобки: $(2 \cdot 3)^2 = 36$ .

Считают, что квадрат суммы равен сумме квадратов

Почему неверно

$$(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$$ , а $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$ . Результаты разные, поэтому «раскрывать» скобку со степенью нельзя.

Как правильно

Сначала выполнить действие в скобках, потом возвести в степень: $$(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Запишите произведение $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ в виде степени и найдите его значение.

Подсказка

Основание — повторяющийся множитель, показатель — сколько раз он повторяется.

Решение

Множитель 4 повторяется 5 раз: $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5$ .

$4 \cdot 4 = 16$ , $16 \cdot 4 = 64$ , $64 \cdot 4 = 256$ , $256 \cdot 4 = 1024$ .

Ответ

4⁵ = 1024

База Задача 2

Вычислите $$13^2$$ и $$5^3$$ .

Решение

$13^2 = 13 \cdot 13 = 169$ .

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$ .

Ответ

169 и 125

Средний Задача 3

Найдите значение выражения $2^5 - 3^3 + 1^{10}$ .

Подсказка

Сначала вычислите каждую степень, потом действия слева направо.

Решение

$$2^5 = 32$$ , $$3^3 = 27$$ , $1^{10} = 1$ .

$$32 - 27 + 1 = 6$$ .

Ответ

6

Средний Задача 4

Запишите число 7 040 300 в виде суммы разрядных слагаемых с помощью степеней числа 10.

Решение

Цифра 7 стоит в разряде миллионов ( $$10^6$$ ), 4 — в разряде десятков тысяч ( $$10^4$$ ), 3 — в разряде сотен ( $$10^2$$ ), в остальных разрядах нули.

$7\,040\,300 = 7 \cdot 10^6 + 4 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^2$ .

Ответ

7 · 10⁶ + 4 · 10⁴ + 3 · 10²

Сложный Задача 5

Сравните $2^{10}$ и $$10^3$$ , не выписывая длинных произведений.

Подсказка

Вспомните, что $$2^5 = 32$$ .

Решение

$2^{10} = 2^5 \cdot 2^5 = 32 \cdot 32 = 1024$ , так как десять двоек можно разбить на две группы по пять.

$$10^3 = 1000$$ .

$$1024 > 1000$$ , значит $2^{10} > 10^3$ .

Ответ

2¹⁰ > 10³ (1024 > 1000)

Сложный Задача 6

Кубик собран из маленьких кубиков, по 6 штук вдоль каждого ребра. Сколько маленьких кубиков в нём? А сколько понадобится для кубика с ребром из 12 маленьких?

Подсказка

В одном слое 6 рядов по 6 кубиков, а слоёв тоже 6.

Решение

В одном слое $6 \cdot 6 = 36$ кубиков, слоёв 6: $36 \cdot 6 = 216 = 6^3$ .

Для ребра из 12 кубиков: $12^3 = 12 \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12 = 1728$ .

Ребро стало вдвое длиннее, а кубиков — в $$1728 : 216 = 8$$ раз больше.

Ответ

216 и 1728 кубиков

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги и сложите его пополам, потом ещё раз и ещё. Каждый раз число слоёв удваивается: 2, 4, 8, 16… После пяти сгибаний слоёв $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32$ . Покажите, что показатель — это число сгибаний, а основание — во сколько раз увеличивается число слоёв за один сгиб. Для квадрата подойдёт шоколадка или клетчатая тетрадь: квадрат 5 на 5 клеток — это $$5^2 = 25$$ клеток.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем $$4^3$$ отличается от $4 \cdot 3$ ? Посчитай оба. 2) Сколько нулей в записи числа $$10^8$$ ? 3) Что нужно сделать первым в выражении $$10 - 2^3$$ ?

На что обратить внимание. Самая частая ошибка — умножить основание на показатель. Попросите ребёнка сначала расписать степень произведением. Вторая — неверный порядок действий: степень вычисляется раньше умножения. Полезно выучить квадраты чисел до 10–12 и кубы до 5: они постоянно встречаются дальше в математике.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 17	3.297, 3.298, 3.299, 3.300, 3.301, 3.302, 3.303, 3.304, 3.305, 3.306, 3.307, 3.308, 3.309, 3.310, 3.311, 3.312, 3.313, 3.314, 3.315, 3.316, 3.317, 3.318, 3.319, 3.320, 3.321, 3.322, 3.323, 3.324, 3.325, 3.326, 3.327, 3.328, 3.329, 3.330, 3.331, 3.332, 3.333, 3.334