Математика. 5 класс · Виленкин, Жохов, Чесноков · § 25

Упражнение 5.21 к § 25

Задача 1

Условие (кратко)

а) Справедливы ли равенства 1³ + 2³ = (1 + 2)², 1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)², 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = (1 + 2 + 3 + 4)²?

Решение

$$1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$$ , $$(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$$ — верно.

$$1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$$ , $$(1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36$$ — верно.

$$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 36 + 64 = 100$$ , $$(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100$$ — верно.

Ответ

Да, все три равенства верны (9 = 9, 36 = 36, 100 = 100)

Почему так

Куб числа — произведение трёх одинаковых множителей, квадрат — двух.

Условие (кратко)

б) Сформулируйте свойство, записанное этими равенствами.

Решение

Во всех равенствах слева — сумма кубов подряд идущих натуральных чисел, начиная с 1, а справа — квадрат суммы тех же чисел.

Ответ

Сумма кубов натуральных чисел от 1 до n равна квадрату их суммы

Почему так

Свойство выводим, сравнивая левые и правые части равенств.

Условие (кратко)

в) Проверьте, выполняется ли это свойство для семи чисел.

Решение

Слева: $$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 = 784$$ .

Справа: $$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$$ , $$28^2 = 784$$ .

$$784 = 784$$ — свойство выполняется.

Ответ

Да, выполняется — обе части равны 784

Почему так

Проверяем, вычисляя отдельно левую и правую части.