Окружность и круг. Шар и цилиндр

Возьмите циркуль, поставьте иглу в точку и, не меняя раствора, проведите грифелем полный оборот. Получится замкнутая линия — окружность. Иглу ставили в одну точку, а ножки не сдвигали, поэтому каждая точка линии удалена от иглы на одно и то же расстояние. Точку, где стояла игла, называют центром и обычно обозначают буквой \(O\).

Окружность и круг

Окружность — это только линия, как обруч или ободок колеса. Если закрасить всё, что внутри, вместе с самой линией, получится круг — как монета или тарелка. Окружность служит границей круга. Центр у окружности и круга общий.

Радиус и диаметр

Радиус — это и расстояние от центра до окружности, и любой отрезок, соединяющий центр с точкой окружности. Радиусов можно провести сколько угодно, и все они равны.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Он состоит из двух радиусов, поэтому \(d = 2r\) и \(r = d : 2\). Если радиус 5 см, диаметр 10 см. Все диаметры одной окружности тоже равны.

Диаметр делит окружность на две полуокружности, а круг — на два полукруга.

Где лежит точка

Чтобы понять, где точка относительно круга, сравните её расстояние до центра с радиусом:

• меньше радиуса — точка внутри круга;
• равно радиусу — точка на окружности;
• больше радиуса — точка вне круга.

Отсюда полезный приём: все точки, удалённые от точки \(A\) на 3 см, лежат на окружности с центром \(A\) и радиусом 3 см. Если нужны точки, удалённые на 3 см от \(A\) и на 4 см от \(B\), проведите обе окружности и найдите их общие точки.

Дуга и сектор

Две точки окружности делят её на две части — дуги, а сами точки — концы дуг. Часть круга между двумя радиусами называют сектором — как кусок пиццы. Два радиуса делят круг на два сектора.

Шкалы многих приборов расположены на окружности или её дуге. Циферблат часов разбит на 12 больших дуг (по 5 минут) и 60 малых (по 1 минуте). Спидометр и указатель топлива — шкалы на дуге.

Длина окружности

Если обвести край круга ниткой и измерить её, окажется, что длина окружности примерно в 3 раза больше диаметра (точнее — примерно в 3,14 раза). Для прикидки: \(C \approx 3d\).

Шар и цилиндр

Это уже не плоские фигуры, а тела. Шар — как мяч или глобус: любой его плоский срез — круг. Цилиндр — как консервная банка: у него два основания, оба круги одного радиуса, и боковая поверхность, которая разворачивается в прямоугольник.

Как решать задачи

1. Выпишите, что дано: радиус или диаметр. Если дан диаметр, а нужен радиус, разделите на 2; если наоборот — умножьте на 2.
2. Чтобы узнать, где точка, сравните её расстояние до центра с радиусом.
3. При построении раскройте циркуль по линейке точно на радиус и не меняйте раствор во время оборота.
4. Для длины окружности используйте прикидку \(C \approx 3d\) и не забудьте, что ответ приближённый.