Задача 1
Муравей бежит по поверхности деревянного куба. Как ему кратчайшим путём попасть из вершины M в противоположную вершину N? Сколько таких путей? Задача повышенной трудности.
Решение
Муравей не может пройти сквозь куб — только по граням. Нужно пересечь две соседние грани.
Развернём две соседние грани в одну плоскость: получится прямоугольник из двух квадратов, а \(M\) и \(N\) окажутся в его противоположных углах. Кратчайший путь на развёртке — прямой отрезок \(MN\). Он пересекает общее ребро граней ровно в его середине.
Значит, кратчайший путь — по прямой через середину одного из рёбер куба, которые не выходят ни из \(M\), ни из \(N\). Из \(M\) выходят 3 ребра, из \(N\) — ещё 3, всего у куба 12 рёбер, остаётся \(12 - 3 - 3 = 6\) рёбер. Через середину каждого проходит свой кратчайший путь.
Если бежать только по рёбрам, самых коротких путей тоже 6: первое ребро выбираем тремя способами, второе — двумя, третье — одним, \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\). Но такой путь из трёх рёбер длиннее, чем путь по граням.
Ответ
Кратчайший путь по поверхности находят на развёртке — это прямой отрезок.
Подробнее — в теме «Прямоугольный параллелепипед».