Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Доли и дроби. Дроби на координатной прямой

Коротко о главном

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. На координатной прямой большая дробь лежит правее, а равные дроби — в одной и той же точке.

\dfrac{4}{7} > \dfrac{3}{7}, \text{ потому что } 4 > 3

Подробное объяснение

Одинаковые доли — сравниваем их количество

Пиццу разрезали на 8 равных кусков. Аня съела 3 куска, Боря — 5. Кто съел больше? Конечно, Боря: куски одинаковые, а у него их больше.

На языке дробей Аня съела $\dfrac{3}{8}$ пиццы, а Боря — $\dfrac{5}{8}$ . Знаменатель 8 говорит, что доли одинаковые — восьмые. Числитель говорит, сколько таких долей взяли. Поэтому

\dfrac{5}{8} > \dfrac{3}{8}.

Правило. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.

Сравнение дробей записывают теми же знаками $$>$$ , $$<$$ , $$=$$ , что и у натуральных чисел. Читают так: $\dfrac{3}{8} < \dfrac{5}{8}$ — «три восьмых меньше пяти восьмых».

Дроби на координатной прямой

Координатная прямая, отрезок от 0 до 1 разделён на 8 равных частей. Точка 3/8 отмечена через 3 части от нуля, точка 5/8 — через 5 частей, она правее. Стрелка вправо подписана «правее — больше». — При одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем — она лежит правее.

Разделим единичный отрезок на 8 равных частей. Точка $\dfrac{3}{8}$ — через 3 части от нуля, точка $\dfrac{5}{8}$ — через 5 частей. Она дальше от нуля, значит, правее.

Так бывает всегда: из двух чисел больше то, которое лежит правее на координатной прямой. Правило работает для любых чисел — и натуральных, и дробных.

Все дроби, у которых числитель больше нуля, лежат правее нуля. Поэтому любая такая дробь больше нуля: $\dfrac{17}{19} > 0$ .

Равные дроби

Квадрат разрезали на 4 равные полосы и закрасили 2 — это $\dfrac{2}{4}$ квадрата. Такой же квадрат разрезали на 2 половины и закрасили одну — $\dfrac{1}{2}$ . Закрашено одинаково: половина.

Дроби $\dfrac{2}{4}$ и $\dfrac{1}{2}$ записаны по-разному, но обозначают одно и то же число. Такие дроби называют равными: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$ . На координатной прямой им соответствует одна и та же точка.

Проверить равенство удобно по клеткам. Возьмём единичный отрезок в 12 клеток. $\dfrac{2}{3}$ — это $12 : 3 \cdot 2 = 8$ клеток, $\dfrac{8}{12}$ — тоже 8 клеток. Точки совпали, значит, $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ .

Как решать задачи

Проверьте, одинаковые ли знаменатели. Правило этой темы работает только для них.
Сравните числители как обычные натуральные числа.
Поставьте тот же знак между дробями: больше числитель — больше дробь.
Если нужно расставить дроби по порядку, расставьте по порядку числители, а знаменатель оставьте прежним.
Если нужно отметить дроби на прямой, возьмите единичный отрезок из стольких клеток, чтобы он делился на знаменатель. Одна доля — число клеток, делённое на знаменатель; её умножьте на числитель.
Чтобы узнать, равны ли дроби с разными знаменателями, отметьте их на одном отрезке: совпали точки — дроби равны.

Дроби с разными знаменателями и разными числителями, например $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{3}{4}$ , так сравнивать нельзя. Их научатся сравнивать позже, в теме о приведении дробей к общему знаменателю.

Разобранные примеры

База

Сравнение двух дробей

Условие

Сравните $\dfrac{13}{25}$ и $\dfrac{8}{25}$ .

Решение

Знаменатели одинаковые — 25. Сравниваем числители: $$13 > 8$$ .

Значит, $\dfrac{13}{25} > \dfrac{8}{25}$ .

Ответ: 13/25 > 8/25

Средний

Порядок убывания

Условие

Запишите в порядке убывания: $\dfrac{6}{19}$ , $\dfrac{15}{19}$ , $\dfrac{2}{19}$ , $\dfrac{11}{19}$ , $\dfrac{9}{19}$ .

Решение

Знаменатели одинаковые, поэтому расставляем по убыванию числители: 15, 11, 9, 6, 2.

$\dfrac{15}{19} > \dfrac{11}{19} > \dfrac{9}{19} > \dfrac{6}{19} > \dfrac{2}{19}$ .

Ответ: 15/19, 11/19, 9/19, 6/19, 2/19

Сложный

Совпадают ли точки

Условие

Единичный отрезок координатной прямой — 30 клеток. Совпадают ли точки $A\left(\dfrac{3}{5}\right)$ и $B\left(\dfrac{18}{30}\right)$ ? Какая из точек $$A$$ и $C\left(\dfrac{20}{30}\right)$ лежит правее?

Решение

Одна пятая — $$30 : 5 = 6$$ клеток, три пятых — $6 \cdot 3 = 18$ клеток. Точка $$A$$ — в 18 клетках от нуля.

Одна тридцатая — 1 клетка, поэтому точка $$B$$ — тоже в 18 клетках. Точки $$A$$ и $$B$$ совпадают: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{18}{30}$ .

Точка $$C$$ — в 20 клетках от нуля, это дальше, чем 18. Значит, $$C$$ правее $$A$$ , и $\dfrac{20}{30} > \dfrac{3}{5}$ .

Ответ: A и B совпадают; правее лежит точка C

Типичные ошибки

Сравнивают знаменатели, а не числители

Почему неверно

Сравнивая $\dfrac{4}{11}$ и $\dfrac{9}{11}$ , ученик смотрит на знаменатели, видит «11 и 11» и решает, что дроби равны. Но одинаковые знаменатели показывают только, что доли одного размера. Сколько таких долей взяли — написано в числителях, и их здесь разное количество.

Как правильно

При одинаковых знаменателях сравнивайте только числители: $$4 < 9$$ , поэтому $\dfrac{4}{11} < \dfrac{9}{11}$ .

Применяют правило к дробям с разными знаменателями

Почему неверно

«У $\dfrac{2}{3}$ числитель меньше, чем у $\dfrac{3}{8}$ , значит, $\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{8}$ » — неверно. Третья часть гораздо больше восьмой: две трети торта больше, чем три восьмых. Правило про числители работает, только когда доли одинаковые.

Как правильно

Сначала проверьте, равны ли знаменатели. Если нет — сравнивайте по рисунку или на координатной прямой: например, при отрезке в 24 клетки $\dfrac{2}{3}$ — 16 клеток, а $\dfrac{3}{8}$ — 9 клеток.

Считают разные записи разными числами

Почему неверно

$\dfrac{1}{5}$ и $\dfrac{4}{20}$ выглядят по-разному, и кажется, что это разные числа. Но на отрезке в 20 клеток обе дроби — это 4 клетки, точки совпадают.

Как правильно

Если дроби отмечают одну и ту же точку координатной прямой (одну и ту же часть целого), это одно число: $\dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{20}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Сравните дроби $\dfrac{5}{12}$ и $\dfrac{7}{12}$ .

Подсказка

Знаменатели одинаковые — посмотрите на числители.

Решение

Знаменатели равны, $$5 < 7$$ , поэтому $\dfrac{5}{12} < \dfrac{7}{12}$ .

Ответ

5/12 < 7/12

База Задача 2

Какая точка на координатной прямой лежит левее, $A\left(\dfrac{8}{15}\right)$ или $B\left(\dfrac{4}{15}\right)$ ?

Подсказка

Левее лежит меньшее число.

Решение

Знаменатели равны, $$4 < 8$$ , значит, $\dfrac{4}{15} < \dfrac{8}{15}$ . Меньшее число лежит левее — это точка $$B$$ .

Ответ

Точка B

Средний Задача 3

Запишите в порядке возрастания дроби $\dfrac{7}{20}$ , $\dfrac{13}{20}$ , $\dfrac{1}{20}$ , $\dfrac{19}{20}$ , $\dfrac{9}{20}$ .

Подсказка

Расставьте по возрастанию числители.

Решение

Знаменатели одинаковые, поэтому порядок дробей такой же, как порядок числителей: 1, 7, 9, 13, 19.

$\dfrac{1}{20} < \dfrac{7}{20} < \dfrac{9}{20} < \dfrac{13}{20} < \dfrac{19}{20}$ .

Ответ

1/20, 7/20, 9/20, 13/20, 19/20

Средний Задача 4

Единичный отрезок на координатной прямой — 18 клеток. На сколько клеток от нуля нужно отложить точку $\dfrac{2}{3}$ ? А точку $\dfrac{12}{18}$ ? Что можно сказать о дробях?

Подсказка

Сначала найдите, сколько клеток приходится на одну долю.

Решение

Одна третья — $$18 : 3 = 6$$ клеток, две третьих — $6 \cdot 2 = 12$ клеток.

Одна восемнадцатая — 1 клетка, двенадцать восемнадцатых — 12 клеток.

Обе точки — в 12 клетках от нуля, они совпадают. Значит, $\dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{18}$ .

Ответ

По 12 клеток; дроби равны

Сложный Задача 5

Найдите все натуральные $$x$$ , при которых верно неравенство $\dfrac{3}{11} < \dfrac{x}{11} < \dfrac{8}{11}$ .

Подсказка

Знаменатели одинаковые, значит, числитель $$x$$ должен лежать между 3 и 8.

Решение

Знаменатели всех дробей равны 11, поэтому неравенство верно, когда $$3 < x < 8$$ .

Подходят $$x = 4, 5, 6, 7$$ — четыре числа.

Ответ

4, 5, 6, 7

Сложный Задача 6

Маша прочитала $\dfrac{5}{9}$ книги, а Петя — $\dfrac{4}{9}$ такой же книги. В книге 180 страниц. Кто прочитал больше и на сколько страниц?

Подсказка

Одна девятая книги — это 180 : 9 страниц.

Решение

Знаменатели равны, $$5 > 4$$ , поэтому Маша прочитала больше.

$$180 : 9 = 20$$ страниц — одна девятая книги.
$20 \cdot 5 = 100$ страниц прочитала Маша.
$20 \cdot 4 = 80$ страниц прочитал Петя.
$$100 - 80 = 20$$ страниц — на столько больше прочитала Маша. Это как раз одна девятая книги: у Маши на одну долю больше.

Ответ

Маша, на 20 страниц

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите плитку шоколада или лист бумаги, сложенный в 6 полосок. Отломите (отогните) 2 полоски и 5 полосок и спросите, где больше. Затем запишите это дробями: $\dfrac{2}{6}$ и $\dfrac{5}{6}$ . Ребёнок сам увидит: доли одинаковые, больше там, где долей больше. Потом нарисуйте отрезок в 12 клеток и отметьте $\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{6}{12}$ — точки совпадут, это и есть равные дроби.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему $\dfrac{7}{10} > \dfrac{3}{10}$ ? 2) Какая точка лежит правее на координатной прямой — $\dfrac{2}{5}$ или $\dfrac{4}{5}$ ? 3) Можно ли сравнивать по числителям дроби $\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{1}{3}$ ?

На что обратить внимание. Правило «больше числитель — больше дробь» верно только при одинаковых знаменателях. Если ребёнок начинает применять его везде, покажите на рисунке, что $\dfrac{1}{2}$ больше, чем $\dfrac{1}{3}$ , хотя числители одинаковые. Следите, чтобы на координатной прямой единичный отрезок делился на равные части.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 27	5.98, 5.99, 5.100, 5.101, 5.102, 5.103, 5.104, 5.105, 5.106, 5.107, 5.108, 5.109, 5.110, 5.111, 5.112, 5.113, 5.114, 5.115, 5.116, 5.117, 5.118, 5.119, 5.120, 5.121, 5.122, 5.123, 5.124, 5.125, 5.126, 5.127, 5.128, 5.129, 5.130, 5.131