Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Прямоугольный параллелепипед — это «коробка»: у него 6 граней-прямоугольников, 12 рёбер и 8 вершин. Его размеры — длина \(a\), ширина \(b\) и высота \(c\). Площадь поверхности и сумма длин рёбер:
Подробное объяснение
Посмотрите на коробку из-под обуви, кирпич или шкаф. Все они похожи по форме: у них ровные стенки-прямоугольники, а углы прямые. Такое тело в математике называют прямоугольным параллелепипедом.
Грани, рёбра, вершины
- Грани — прямоугольники, из которых состоит поверхность. Их 6: верх и низ, перед и зад, левая и правая стенки.
- Противоположные грани равны: верх такой же, как низ, перед — как зад, левая — как правая. Значит, разных граней всего три пары.
- Рёбра — стороны граней, отрезки, по которым грани соединяются. Их 12.
- Вершины — углы, точки, где сходятся рёбра. Их 8.
Запомнить помогает коробка: у крышки 4 угла, у дна 4 угла — 8 вершин. У крышки 4 края, у дна 4 края и ещё 4 вертикальных ребра — 12 рёбер.
На рисунке параллелепипед изображён так, как его видно спереди. Задние рёбра закрыты стенками, их рисуют штрихами.
Измерения
Из каждой вершины выходят ровно три ребра. Их длины называют измерениями параллелепипеда: длина \(a\), ширина \(b\), высота \(c\). Остальные рёбра повторяют их: по 4 ребра каждой длины.
Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны. Все 12 рёбер куба одинаковые, а все 6 граней — равные квадраты. Кубик для игры, кубик сахара-рафинада — примеры куба.
Сумма длин рёбер
Представьте каркас коробки из проволоки. Сколько проволоки нужно? Рёбер длины \(a\) — четыре, ширины \(b\) — четыре, высоты \(c\) — четыре:
У куба с ребром \(a\) все 12 рёбер равны: \(L = 12a\).
Площадь поверхности и развёртка
Если разрезать коробку по некоторым рёбрам и разложить на столе, получится плоская фигура из шести прямоугольников — развёртка. Площадь поверхности — это сумма площадей всех шести граней.
Разных граней три: площадью \(ab\) (верх и низ), \(bc\) (боковые) и \(ac\) (перед и зад). Каждая встречается дважды:
У куба поверхность — 6 равных квадратов, поэтому \(S = 6a^2\).
Все измерения должны быть в одних единицах. Если длина в метрах, а высота в дециметрах, сначала переведите. Площадь получится в квадратных единицах: см², дм², м².
Как решать задачи
- Выпишите три измерения и переведите их в одинаковые единицы.
- Поймите, что спрашивают: длину рёбер (каркас, лента, мишура) или площадь поверхности (краска, бумага, обои).
- Для рёбер: \(L = 4(a + b + c)\). Для поверхности найдите площади трёх разных граней и удвойте сумму.
- Проверьте, все ли грани нужны. У коробки без крышки граней 5, у комнаты с обоями — только 4 стены.
- Запишите ответ с единицами: для длины — см, м; для площади — см², м².
Разобранные примеры
Каркас из палочек
Мальчик собирает из палочек каркас прямоугольного параллелепипеда с измерениями 12 см, 8 см и 5 см. Сколько сантиметров палочек понадобится?
- \(a = 12\) см
- \(b = 8\) см
- \(c = 5\) см
- \(L\)
Рёбер каждой длины по четыре: \(L = 4 \cdot (12 + 8 + 5) = 4 \cdot 25 = 100\) см.
Сколько бумаги на подарок
Коробку длиной 30 см, шириной 20 см и высотой 10 см нужно обклеить бумагой со всех сторон. Какова площадь поверхности коробки?
- \(a = 30\) см
- \(b = 20\) см
- \(c = 10\) см
- \(S\)
Площади разных граней: \(30 \cdot 20 = 600\) см², \(20 \cdot 10 = 200\) см², \(30 \cdot 10 = 300\) см².
\(S = 2 \cdot (600 + 200 + 300) = 2 \cdot 1100 = 2200\) см².
Покраска бассейна
Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда: длина 10 м, ширина 4 м, глубина 2 м. Изнутри красят дно и стенки. На 1 м² уходит 200 г краски. Сколько килограммов краски нужно?
- \(a = 10\) м
- \(b = 4\) м
- \(c = 2\) м
- расход 200 г на 1 м²
- массу краски
Верха у бассейна нет, красят 5 граней. Дно: \(10 \cdot 4 = 40\) м². Длинные стенки: \(2 \cdot 10 \cdot 2 = 40\) м². Короткие стенки: \(2 \cdot 4 \cdot 2 = 16\) м².
Площадь: \(40 + 40 + 16 = 96\) м². Краска: \(96 \cdot 200 = 19\,200\) г \(= 19\) кг \(200\) г.
Типичные ошибки
Ученик считает только то, что видно на рисунке: три грани, девять рёбер, семь вершин. Невидимые задние части тоже есть, их просто закрывают передние стенки.
Считайте по коробке: граней 6, рёбер 12, вершин 8. Штриховые линии на рисунке — это тоже рёбра.
\(ab + bc + ac\) — это площадь лишь половины поверхности: у каждой грани есть равная ей противоположная.
Сумму площадей трёх разных граней нужно удвоить: \(S = 2(ab + bc + ac)\). Исключение — когда в условии каких-то граней нет (коробка без крышки).
Для параллелепипеда 6 м × 7 м × 13 дм нельзя умножать 6 на 13: получатся не квадратные метры и не квадратные дециметры.
Сначала переведите всё в одни единицы: 60 дм, 70 дм, 13 дм — и только потом считайте площадь.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Сколько рёбер у прямоугольного параллелепипеда?
Показать ответ
Ответ: В) 12
По четыре ребра длины, ширины и высоты — \(3 \cdot 4 = 12\).
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны; Б) Куб — это прямоугольный параллелепипед; Г) Из каждой вершины выходят три ребра
Вершин у параллелепипеда 8, а граней 6; куб — параллелепипед с равными измерениями.
-
Ребро куба 5 дм. Чему равна площадь его поверхности в квадратных дециметрах?
Показать ответ
Ответ: 150
\(S = 6a^2 = 6 \cdot 25 = 150\) дм².
-
Какая формула даёт площадь поверхности параллелепипеда с измерениями a, b, c?
Показать ответ
Ответ: Б) S = 2(ab + bc + ac)
Три пары равных граней с площадями \(ab\), \(bc\), \(ac\) — поэтому сумма удваивается.
-
Измерения коробки 10 см, 6 см и 4 см. Какова сумма длин всех её рёбер в сантиметрах?
Показать ответ
Ответ: 80
\(L = 4 \cdot (10 + 6 + 4) = 4 \cdot 20 = 80\) см.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Измерения прямоугольного параллелепипеда — 3 см, 5 см и 2 см. Найдите сумму длин всех его рёбер.
Подсказка
Рёбер 12, по четыре каждой длины.
Решение
\(L = 4 \cdot (3 + 5 + 2) = 4 \cdot 10 = 40\) см.
Ответ
Ребро кубика 4 см. Найдите площадь его поверхности.
Подсказка
Поверхность куба — шесть равных квадратов.
Решение
Площадь одной грани \(4 \cdot 4 = 16\) см², а всех шести — \(6 \cdot 16 = 96\) см².
Ответ
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 8 см, 5 см и 3 см.
Подсказка
Найдите площади трёх разных граней и удвойте их сумму.
Решение
Разные грани: \(8 \cdot 5 = 40\) см², \(5 \cdot 3 = 15\) см², \(8 \cdot 3 = 24\) см².
\(S = 2 \cdot (40 + 15 + 24) = 2 \cdot 79 = 158\) см².
Ответ
Из проволоки длиной 1 м сделали каркас куба, и 4 см проволоки осталось. Какова длина ребра куба?
Решение
На каркас ушло \(100 - 4 = 96\) см проволоки. У куба 12 равных рёбер.
Ребро: \(96 : 12 = 8\) см.
Ответ
Аквариум без крышки имеет длину 60 см, ширину 30 см и высоту 40 см. Сколько квадратных сантиметров стекла ушло на аквариум?
Подсказка
Граней у аквариума без крышки не шесть, а пять.
Решение
Дно: \(60 \cdot 30 = 1800\) см². Передняя и задняя стенки: \(2 \cdot 60 \cdot 40 = 4800\) см². Боковые стенки: \(2 \cdot 30 \cdot 40 = 2400\) см².
Всего: \(1800 + 4800 + 2400 = 9000\) см².
Ответ
Можно ли сложить куб из «полоски» — шести равных квадратов, приставленных друг к другу в один ряд? Объясните.
Решение
При сгибании полоски четыре квадрата подряд образуют боковые стенки, а пятый и шестой лягут на уже занятое место — на первую и вторую стенки. Верх и низ останутся открытыми, поэтому куб не получится.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите коробку из-под чая или обуви. Пусть ребёнок пальцем посчитает грани (6), рёбра (12) и вершины (8), а потом линейкой измерит длину, ширину и высоту. Разрежьте старую коробку по рёбрам — получится развёртка. Видно, что прямоугольники идут парами, поэтому площадь поверхности — удвоенная сумма трёх разных площадей.
Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько у кубика рёбер одинаковой длины? 2) Что нужно знать, чтобы узнать, сколько бумаги уйдёт на коробку, — сумму длин рёбер или площадь поверхности? 3) Почему в формуле площади поверхности стоит множитель 2?
На что обратить внимание. Ребёнок должен различать длину (см, м) и площадь (см², м²) и следить, чтобы все измерения были в одинаковых единицах. В задачах про коробку без крышки или про обои полезно прямо перечислить, какие грани участвуют.