Задача 1
Четыре столба стоят в углах площадки M, N, E, D. Протянуть по две гирлянды от M к E и от N к D так, чтобы они не касались. Найти несколько способов.
Решение
Столбы стоят в вершинах четырёхугольника: \(M\) и \(E\) — противоположные углы, \(N\) и \(D\) — тоже. Если натянуть гирлянды напрямую по диагоналям, они пересекутся. Значит, хотя бы одну пару гирлянд нужно вести в обход.
Способ 1. Гирлянды \(N \to D\) натянуть прямо через площадку. Гирлянды \(M \to E\) провести снаружи площадки в обход столба \(D\): от \(M\) вдоль стороны \(MD\) за столб \(D\) и дальше к \(E\). Тогда столб \(D\) оказывается «внутри» петли \(M \to E\), а гирлянды \(N \to D\) подходят к нему изнутри площадки и не пересекают петлю.
Способ 2. Наоборот: гирлянды \(M \to E\) натянуть прямо, а гирлянды \(N \to D\) провести снаружи в обход столба \(E\) (или столба \(M\)).
Способ 3. Обходить можно и другой столб: \(M \to E\) в обход столба \(N\) снаружи, а \(N \to D\) — прямо.
Во всех способах две гирлянды одной пары идут рядом, одна чуть выше другой. Закреплены они у оснований светильников, поэтому вторую пару можно ещё и повесить выше или ниже первой — тогда они тоже не касаются.
Ответ
Две линии между противоположными вершинами четырёхугольника пересекаются, если обе идут внутри; одну нужно провести в обход.
Подробнее — в теме «Отрезок и его длина. Ломаная. Многоугольник».