Какие утверждения верны?

Длина ломаной равна сумме длин её звеньев

У пятиугольника пять сторон и пять вершин

Отрезки CD и DC — один и тот же отрезок

Периметр — это длина самой большой стороны

Отрезок и его длина. Ломаная. Многоугольник

Коротко о главном

Отрезок — это часть прямой линии между двумя точками, его концами. Длина отрезка — это расстояние между его концами. Ломаная составлена из отрезков-звеньев, её длина равна сумме длин звеньев. Многоугольник ограничен замкнутой ломаной, а сумма длин его сторон называется периметром.

P = a + b + c + \ldots

Подробное объяснение

Натяните нитку между двумя гвоздиками — получится прямая линия, которая начинается в одном гвоздике и кончается в другом. В математике такую линию называют отрезком.

Отрезок и его обозначение

Отметим точки $$A$$ и $$B$$ и проведём между ними линию по линейке. Получится отрезок $$AB$$ , точки $$A$$ и $$B$$ — его концы. Тот же отрезок можно назвать $$BA$$ : порядок букв не важен.

Через две различные точки проходит только один отрезок с концами в этих точках. Другую прямую линию между ними провести нельзя.

Точка может лежать на отрезке, то есть между его концами, а может не лежать на нём. Если точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$ , она делит его на два отрезка, $$AC$$ и $$CB$$ .

Длина отрезка

Сравнить два отрезка можно циркулем-измерителем: ставим его ножки в концы одного отрезка и, не меняя раствора, переносим на другой. Совпали концы — отрезки равны.

Чтобы узнать длину, отрезок сравнивают с единичным отрезком, например с 1 см. Если 1 см укладывается в отрезке ровно 7 раз, пишут $$AB = 7$$ см. Длину отрезка $$AB$$ называют ещё расстоянием между точками $$A$$ и $$B$$ .

Если точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$ , то длина всего отрезка равна сумме длин частей: $$AB = AC + CB$$ .

Отрезок AB, на нём точка C. Под ним отмечены части AC = 3 см и CB = 5 см, ниже — весь отрезок AB = 3 см + 5 см = 8 см. — Если точка C лежит на отрезке AB, то AB = AC + CB.

Единицы длины

1 \text{ см} = 10 \text{ мм}, \quad 1 \text{ дм} = 10 \text{ см}, \quad 1 \text{ м} = 100 \text{ см}, \quad 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}

Из этих равенств получаются и другие: $$1$$ дм $$= 100$$ мм, $$1$$ м $$= 10$$ дм $$= 1000$$ мм, $$1$$ км $= 100\,000$ см. Чтобы перевести «3 м 5 см» в сантиметры, крупную единицу заменяем мелкими: $$300 + 5 = 305$$ см. Обратно — выделяем целые крупные единицы: $$264$$ см $$= 2$$ м $$64$$ см.

Ломаная

Если соединять отрезки один за другим так, что соседние не лежат на одной прямой, получится ломаная. Отрезки — это её звенья, а их концы — вершины. Ломаная бывает незамкнутой (начало и конец в разных точках) и замкнутой (последнее звено приходит в начальную точку). Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев.

У незамкнутой ломаной звеньев на одно меньше, чем вершин. У замкнутой — поровну.

Многоугольник и периметр

Замкнутая ломаная, звенья которой не пересекаются, ограничивает многоугольник. Её звенья — стороны многоугольника, вершины — его вершины. Три стороны — треугольник, четыре — четырёхугольник, пять — пятиугольник и так далее. Многоугольник называют по вершинам подряд: четырёхугольник $$ABCD$$ имеет стороны $$AB$$ , $$BC$$ , $$CD$$ , $$DA$$ .

Слева незамкнутая ломаная ABCDE из четырёх звеньев с пятью вершинами. Справа пятиугольник KLMNP — замкнутая ломаная без пересечений, пять сторон и пять вершин. — Незамкнутая ломаная имеет на одно звено меньше, чем вершин; у многоугольника сторон столько же, сколько вершин.

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон, обозначается буквой $$P$$ . У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому $P = 2 \cdot (a + b)$ , а у квадрата со стороной $$a$$ — $P = 4 \cdot a$ .

Как решать задачи

Сделайте рисунок: отметьте точки в нужном порядке, подпишите известные длины.
Переведите все длины в одинаковые единицы (обычно в самые мелкие из встречающихся).
Если точка лежит на отрезке — длина целого равна сумме частей; для ломаной и периметра — складывайте все звенья или стороны.
Если в условии сказано «на … больше», прибавляйте, «на … меньше» — вычитайте, «в … раз» — умножайте или делите.
Запишите ответ с единицами; при необходимости переведите в крупные единицы.

Разобранные примеры

База

Длина отрезка по частям

Условие

Точка $$K$$ лежит на отрезке $$MN$$ . $$MK = 2$$ см $$7$$ мм, $$KN = 4$$ см $$5$$ мм. Найдите длину $$MN$$ .

Дано

$$MK = 2$$ см $$7$$ мм
$$KN = 4$$ см $$5$$ мм

Найти

$$MN$$

Решение

Переводим в миллиметры: $$MK = 27$$ мм, $$KN = 45$$ мм.

Точка $$K$$ лежит на отрезке, поэтому $$MN = MK + KN = 27 + 45 = 72$$ мм $$= 7$$ см $$2$$ мм.

Ответ: 72 мм, то есть 7 см 2 мм.

Средний

Периметр треугольника

Условие

В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB = 9$$ см, сторона $$BC$$ на 4 см длиннее $$AB$$ , а сторона $$AC$$ на 2 см короче $$BC$$ . Найдите периметр треугольника.

Дано

$$AB = 9$$ см
$$BC$$ на 4 см больше $$AB$$
$$AC$$ на 2 см меньше $$BC$$

Найти

$$P$$

Решение

$$BC = 9 + 4 = 13$$ см, $$AC = 13 - 2 = 11$$ см.

$$P = AB + BC + AC = 9 + 13 + 11 = 33$$ см.

Ответ: 33 см

Сложный

Забор вокруг огорода

Условие

Огород прямоугольной формы имеет длину 24 м, а ширина в 3 раза меньше длины. Сколько метров сетки нужно, чтобы обнести огород, если на калитку оставляют 1 м без сетки?

Дано

длина $$24$$ м
ширина в 3 раза меньше
калитка $$1$$ м

Найти

длину сетки

Решение

Ширина: $$24 : 3 = 8$$ м.

Периметр: $P = 2 \cdot (24 + 8) = 2 \cdot 32 = 64$ м.

Без калитки: $$64 - 1 = 63$$ м.

Ответ: 63 м

Типичные ошибки

Складывают длины в разных единицах

Почему неверно

«3 см + 5 мм = 8 см» — ошибка: сантиметр и миллиметр — разные единицы, их числа складывать нельзя, как нельзя складывать рубли с копейками.

Как правильно

Сначала переведите всё в одни единицы: $$3$$ см $$= 30$$ мм, $$30 + 5 = 35$$ мм $$= 3$$ см $$5$$ мм.

Путают, сколько мелких единиц в крупной

Почему неверно

Часто пишут «1 м = 10 см» или «1 дм = 10 мм». На самом деле в метре 100 сантиметров, а в дециметре 100 миллиметров.

Как правильно

Запомните цепочку: мм — (×10) — см — (×10) — дм — (×10) — м — (×1000) — км. Между соседними единицами до метра множитель 10, от метра до километра — 1000.

Считают периметр прямоугольника по двум сторонам

Почему неверно

У прямоугольника четыре стороны. Если сложить только длину и ширину, получится половина периметра.

Как правильно

$P = a + b + a + b = 2 \cdot (a + b)$ . Для прямоугольника 5 см на 3 см: $P = 2 \cdot 8 = 16$ см, а не 8 см.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

На отрезке $$AB$$ отмечена точка $$C$$ . Известно, что $$AC = 4$$ см, $$CB = 9$$ см. Найдите длину отрезка $$AB$$ .

Подсказка

Точка $$C$$ делит отрезок на две части, длина всего отрезка — сумма длин частей.

Решение

$$AB = AC + CB = 4 + 9 = 13$$ (см).

Ответ

13 см

База Задача 2

Выразите 3 м 5 см в сантиметрах.

Подсказка

В одном метре 100 сантиметров.

Решение

$$3$$ м $$= 300$$ см, поэтому $$3$$ м $$5$$ см $$= 300 + 5 = 305$$ см.

Ответ

305 см

Средний Задача 3

Ломаная состоит из четырёх звеньев длиной 2 см 5 мм, 3 см, 4 см 2 мм и 18 мм. Найдите длину ломаной в сантиметрах и миллиметрах.

Подсказка

Переведите все длины в миллиметры и сложите.

Решение

Переводим в миллиметры: $$25$$ мм, $$30$$ мм, $$42$$ мм, $$18$$ мм.

Длина ломаной: $$25 + 30 + 42 + 18 = 115$$ мм $$= 11$$ см $$5$$ мм.

Ответ

11 см 5 мм

Средний Задача 4

Одна сторона прямоугольника 12 см, другая на 5 см длиннее. Найдите периметр прямоугольника.

Подсказка

У прямоугольника две пары равных сторон.

Решение

Вторая сторона: $$12 + 5 = 17$$ см.

$P = 12 + 17 + 12 + 17 = 2 \cdot (12 + 17) = 58$ см.

Ответ

58 см

Сложный Задача 5

Периметр треугольника 30 см. Первая сторона 8 см, вторая в 2 раза длиннее первой. Найдите третью сторону.

Подсказка

Найдите вторую сторону, затем вычтите сумму двух известных сторон из периметра.

Решение

Вторая сторона: $8 \cdot 2 = 16$ см.

Третья сторона: $$30 - (8 + 16) = 30 - 24 = 6$$ см.

Ответ

6 см

Сложный Задача 6

На прямой отмечены точки $$A$$ , $$B$$ и $$C$$ , причём $$AB = 7$$ см, $$BC = 3$$ см. Какой может быть длина отрезка $$AC$$ ? Найдите все варианты.

Подсказка

Точка $$C$$ может лежать по одну или по другую сторону от точки $$B$$ .

Решение

Если $$C$$ лежит за точкой $$B$$ (порядок $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ ), то $$AC = 7 + 3 = 10$$ см.

Если $$C$$ лежит между $$A$$ и $$B$$ (порядок $$A$$ , $$C$$ , $$B$$ ), то $$AC = 7 - 3 = 4$$ см.

Точка $$A$$ между $$B$$ и $$C$$ быть не может: тогда $$AB$$ было бы меньше $$BC$$ .

Ответ

10 см или 4 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите линейку и нитку. Отметьте на листе две точки и соедините их — это отрезок, а число на линейке — его длина. Затем соедините несколько точек подряд — получится ломаная; измерьте каждое звено и сложите. Замкните ломаную так, чтобы звенья не пересекались, — это многоугольник. Обведите ниткой его край и приложите нитку к линейке: это и есть периметр. Так же можно измерить периметр книги или столешницы.

Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько сантиметров в 2 м 7 см? 2) Чем замкнутая ломаная отличается от незамкнутой? 3) Как найти периметр квадрата со стороной 6 см?

На что обратить внимание. Главные трудности — перевод единиц (особенно «1 м = 100 см», «1 км = 1000 м») и сложение длин в разных единицах. Приучайте ребёнка всегда подписывать единицы и делать рисунок к задаче: точки на отрезке в правильном порядке сразу подсказывают, складывать или вычитать.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 3	1.42, 1.43, 1.44, 1.45, 1.46, 1.47, 1.48, 1.49, 1.50, 1.51, 1.52, 1.53, 1.54, 1.55, 1.56, 1.57, 1.58, 1.59, 1.60, 1.61, 1.62, 1.63, 1.64, 1.65, 1.66, 1.67, 1.68, 1.69, 1.70, 1.71, 1.72, 1.73, 1.74, 1.75, 1.76, 1.77, 1.78, 1.79, 1.80, 1.81, 1.82, 1.83, 1.84, 1.85, 1.86, 1.87, 1.88, 1.89, 1.90, 1.91