Деление натуральных чисел и дроби

Трое друзей купили две пиццы и хотят разделить их поровну. Два на три нацело не делится — неужели задачу не решить? Решить можно: каждую пиццу режем на три равных куска, и каждый берёт по одному куску от каждой пиццы. Один кусок — это \(\dfrac{1}{3}\) пиццы, два куска — \(\dfrac{2}{3}\). Значит, \(2 : 3 = \dfrac{2}{3}\).

Черта дроби — знак деления

Этот пример показывает главное: дробь \(\dfrac{2}{3}\) получилась при делении \(2\) на \(3\). Поэтому черту дроби можно читать как «разделить на»:

Делимое \(m\) становится числителем, делитель \(n\) — знаменателем. Раньше деление натуральных чисел не всегда было возможно: \(5 : 8\) «не делилось». Теперь ответ есть всегда — это дробь \(\dfrac{5}{8}\).

Когда частное — натуральное число, а когда — дробь

• Если деление выполняется нацело, дробь равна натуральному числу: \(\dfrac{42}{6} = 42 : 6 = 7\), \(\dfrac{9}{1} = 9\).
• Если нацело не делится, частное — дробное число: \(10 : 3 = \dfrac{10}{3}\).

Так что любую дробь можно прочитать и обратно, как частное: \(\dfrac{4}{7} = 4 : 7\).

Натуральное число в виде дроби

Любое натуральное число можно записать дробью с любым натуральным знаменателем. Например, запишем \(4\) со знаменателем \(5\). Нужно число, которое при делении на \(5\) даёт \(4\). Это \(4 \cdot 5 = 20\), значит, \(4 = \dfrac{20}{5}\).

Правило: числитель равен произведению числа на знаменатель. \(3 = \dfrac{3 \cdot 10}{10} = \dfrac{30}{10}\), \(1 = \dfrac{7}{7}\).

Деление суммы на число

Мы знаем правило сложения дробей: \(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\). Если прочитать его справа налево и заменить черту на деление, получится свойство:

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить результаты. Это помогает считать в уме: \((420 + 35) : 7 = 60 + 5 = 65\). Свойство работает и в обратную сторону: \(95 : 19 + 57 : 19 = 152 : 19 = 8\).

Уравнения с дробной чертой

Запись \(\dfrac{x}{5} = 12\) — это просто \(x : 5 = 12\). Неизвестное делимое находим умножением: \(x = 12 \cdot 5 = 60\). А в уравнении \(\dfrac{36}{y} = 4\) неизвестен делитель: \(y = 36 : 4 = 9\).

Как решать задачи

1. Если что-то делят поровну, запишите частное: что делим — в числитель, на сколько частей — в знаменатель.
2. Проверьте, делится ли нацело. Если да — дробь равна натуральному числу, запишите его.
3. Чтобы записать число \(a\) дробью со знаменателем \(n\), умножьте: числитель равен \(a \cdot n\).
4. В уравнении с дробью замените черту знаком деления и найдите неизвестный компонент деления.
5. Сумму делите на число по частям, если слагаемые делятся нацело — так проще.