Задача 1
Составьте три треугольных и три квадратных числа (как 6, 10 и 9, 16). Найдите закономерность составления тех и других.
Решение
Треугольные числа: в треугольнике из точек каждый следующий ряд на одну точку длиннее. \(1\), \(1 + 2 = 3\), \(3 + 3 = 6\), \(6 + 4 = 10\), \(10 + 5 = 15\), \(15 + 6 = 21\), \(21 + 7 = 28\).
Три новых треугольных числа: 15, 21, 28. Закономерность: к предыдущему числу прибавляют номер следующего ряда, то есть треугольное число — это \(1 + 2 + 3 + \ldots + n\).
Квадратные числа: точки в квадрате \(n\) на \(n\), всего \(n \cdot n = n^2\). \(1\), \(4\), \(9\), \(16\), \(25\), \(36\), \(49\).
Три новых квадратных числа: 25, 36, 49. Закономерность: \(n^2\); разности соседних — нечётные числа 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Ответ
Треугольное число — сумма чисел от 1 до n, квадратное — квадрат числа n.
Подробнее — в теме «Степень с натуральным показателем».