Что значит сократить дробь?

Разделить числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от 1

Вычесть из числителя и знаменателя одно и то же число

Разделить только числитель на какое-нибудь число

Уменьшить дробь в несколько раз

Сокращение дробей — 5 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Сократить дробь — разделить её числитель и знаменатель на общий делитель, отличный от 1. Получается равная дробь, записанная меньшими числами. Если сокращать больше не на что, дробь называют несократимой.

\dfrac{a \cdot n}{b \cdot n} = \dfrac{a}{b}

Подробное объяснение

Представьте пиццу, разрезанную на 8 кусков. Вы съели 6 — это $\dfrac{6}{8}$ пиццы. А если бы ту же пиццу разрезали на 4 больших куска, вы бы съели 3 из них — $\dfrac{3}{4}$ . Съедено одинаково, просто записано разными числами. Запись $\dfrac{3}{4}$ короче и понятнее — к ней и приводит сокращение.

Две одинаковые полоски. Верхняя разделена на 8 равных частей, закрашено 6. Нижняя разделена на 4 равные части, закрашено 3. Закрашенные части одинаковой длины, поэтому 6/8 = 3/4. — Сократив 6/8 на 2, получаем ту же долю, записанную меньшими числами, — 3/4.

Почему дробь не меняется

По основному свойству дроби числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится равная дробь. Сокращение — это как раз деление:

\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 : 2}{8 : 2} = \dfrac{3}{4}.

Делить можно только на общий делитель числителя и знаменателя, иначе получатся не натуральные числа. Делитель 1 ничего не меняет, поэтому сокращают на число больше 1.

Несократимая дробь

Дробь $\dfrac{3}{4}$ дальше не сокращается: у 3 и 4 нет общих делителей, кроме 1. Такую дробь называют несократимой. У каждой дроби есть ровно одна равная ей несократимая дробь. Поэтому, чтобы проверить, равны ли две дроби, удобно сократить обе до конца и сравнить.

Сразу или по шагам

Самое большое число, на которое можно сократить дробь, — наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Если его знать, сокращение делается в одно действие: у 36 и 48 НОД равен 12, и $\dfrac{36}{48} = \dfrac{3}{4}$ .

Если НОД сразу не виден, сокращают по шагам, пользуясь признаками делимости:

\dfrac{36}{48} = \dfrac{18}{24} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}.

Ответ тот же. Главное — не останавливаться, пока дробь не станет несократимой.

Произведения в дроби

Если числитель и знаменатель записаны произведениями, их не надо перемножать. Одинаковые множители сверху и снизу сокращают сразу:

\dfrac{5 \cdot 12}{6 \cdot 25} = \dfrac{5 \cdot 2 \cdot 6}{6 \cdot 5 \cdot 5} = \dfrac{2}{5}.

Так же сокращаются буквы-множители: $\dfrac{12x}{18x} = \dfrac{2}{3}$ .

Осторожно с суммой: в $\dfrac{3 + 5}{3 + 7}$ тройки сокращать нельзя. Сначала посчитайте или вынесите общий множитель за скобки, чтобы получилось произведение.

Как решать задачи

Посмотрите на числитель и знаменатель: есть ли у них общий делитель? Помогут признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Разделите числитель и знаменатель на этот делитель — лучше на наибольший.
Повторяйте, пока общих делителей, кроме 1, не останется.
Если в дроби произведения, разложите множители и сократите одинаковые, не перемножая.
Если в дроби сумма или разность, сначала вычислите её или вынесите общий множитель за скобки.
Проверка: у ответа числитель и знаменатель не должны иметь общих делителей, кроме 1.

Разобранные примеры

База

Сокращаем за один шаг

Условие

Сократите дробь $\dfrac{35}{56}$ .

Решение

$35 = 5 \cdot 7$ , $56 = 8 \cdot 7$ . Общий делитель — 7.

$\dfrac{35}{56} = \dfrac{35 : 7}{56 : 7} = \dfrac{5}{8}$ .

У 5 и 8 общих делителей нет, дробь несократимая.

Ответ: 5/8

Средний

Часть величины несократимой дробью

Условие

Какую часть килограмма составляют 250 г? Ответ запишите несократимой дробью.

Решение

В килограмме 1000 г, поэтому 250 г — это $\dfrac{250}{1000}$ кг.

Сократим по шагам: на 10 — $\dfrac{25}{100}$ , на 25 — $\dfrac{1}{4}$ .

(Сразу: НОД 250 и 1000 равен 250.)

Ответ: 1/4 кг

Сложный

Сокращаем произведения

Условие

Найдите значение выражения $\dfrac{14 \cdot 9 + 14 \cdot 6}{21 \cdot 10}$ , сначала сократив дробь.

Решение

В числителе вынесем 14 за скобки: $14 \cdot 9 + 14 \cdot 6 = 14 \cdot (9 + 6) = 14 \cdot 15$ .

Разложим множители: $\dfrac{14 \cdot 15}{21 \cdot 10} = \dfrac{2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5}$ .

Все множители сократились, осталось 1.

Ответ: 1

Типичные ошибки

Останавливаются, не досократив дробь

Почему неверно

$\dfrac{24}{36} = \dfrac{12}{18}$ — сокращение верное, но у 12 и 18 ещё есть общий делитель 6. Ответ $\dfrac{12}{18}$ засчитают как незаконченный.

Как правильно

После каждого шага проверяйте, есть ли ещё общий делитель: $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$ . Надёжнее сразу делить на наибольший общий делитель — у 24 и 36 он равен 12.

Сокращают слагаемые

Почему неверно

В дроби $\dfrac{2 + 5}{2 + 9}$ «вычёркивают» двойки и получают $\dfrac{5}{9}$ . Но $\dfrac{2 + 5}{2 + 9} = \dfrac{7}{11}$ , а это другое число. Сокращать можно только множители.

Как правильно

Сначала посчитайте сумму или вынесите общий множитель за скобки: $\dfrac{3 \cdot 4 + 3 \cdot 5}{3 \cdot 6} = \dfrac{3 \cdot 9}{3 \cdot 6} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$ .

Делят только числитель или только знаменатель

Почему неверно

Если разделить на 2 только числитель, $\dfrac{4}{10} \to \dfrac{2}{10}$ , дробь уменьшится в 2 раза — получится другое число.

Как правильно

Числитель и знаменатель делят на одно и то же число одновременно: $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Сократите дробь $\dfrac{14}{21}$ .

Подсказка

Оба числа делятся на 7.

Решение

$\dfrac{14}{21} = \dfrac{14 : 7}{21 : 7} = \dfrac{2}{3}$ .

Ответ

2/3

База Задача 2

Какую часть часа составляют 40 минут? Ответ запишите несократимой дробью.

Подсказка

В часе 60 минут.

Решение

$\dfrac{40}{60} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ч (на 10, потом на 2).

Ответ

2/3 ч

Средний Задача 3

Сократите дробь $\dfrac{126}{168}$ .

Подсказка

Сокращайте по шагам, пользуясь признаками делимости на 2, 3 и 7.

Решение

$\dfrac{126}{168} = \dfrac{63}{84}$ (на 2) $= \dfrac{21}{28}$ (на 3) $= \dfrac{3}{4}$ (на 7).

Наибольший общий делитель $$126$$ и $$168$$ равен $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ , и сразу: $\dfrac{126 : 42}{168 : 42} = \dfrac{3}{4}$ .

Ответ

3/4

Средний Задача 4

Приведите к несократимой дроби $\dfrac{8 \cdot 15}{25 \cdot 12}$ , не вычисляя произведений.

Подсказка

Разложите 8, 15, 25 и 12 на меньшие множители.

Решение

$\dfrac{8 \cdot 15}{25 \cdot 12} = \dfrac{2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4}$ .

Сокращаем 4, 3 и одну пятёрку: остаётся $\dfrac{2}{5}$ .

Ответ

2/5

Сложный Задача 5

Дробь сократили на 6 и получили $\dfrac{5}{9}$ . Какую дробь сократили? Можно ли было сократить её на большее число?

Решение

Сокращение — деление числителя и знаменателя на 6, значит, исходная дробь в 6 раз «крупнее»:

$\dfrac{5 \cdot 6}{9 \cdot 6} = \dfrac{30}{54}$ .

$\dfrac{5}{9}$ — несократимая дробь, поэтому 6 — наибольший общий делитель чисел 30 и 54. На большее число дробь сократить нельзя.

Ответ

30/54; нет, 6 — наибольший общий делитель

Сложный Задача 6

Найдите значение выражения $\dfrac{17 \cdot 9 - 17 \cdot 4}{34}$ , сначала сократив дробь.

Подсказка

Вынесите 17 за скобки в числителе.

Решение

$17 \cdot 9 - 17 \cdot 4 = 17 \cdot (9 - 4) = 17 \cdot 5$ , а $34 = 17 \cdot 2$ .

$\dfrac{17 \cdot 5}{17 \cdot 2} = \dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2}$ .

Ответ

2 1/2

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите плитку шоколада из 12 долек и отломите 8 — это $\dfrac{8}{12}$ . Теперь мысленно объедините дольки по четыре: плитка — это 3 «больших куска», а отломлено 2 из них, то есть $\dfrac{2}{3}$ . Шоколада столько же, числа меньше — это и есть сокращение на 4.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему после сокращения дробь не меняется? 2) Как понять, что дробь больше не сокращается? 3) Можно ли сократить двойки в $\dfrac{2 + 3}{2 + 7}$ ?

На что обратить внимание. Главная ошибка — оставлять дробь недосокращённой. Приучите ребёнка в конце проверять: есть ли у числителя и знаменателя общий делитель? Повторите признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 — без них сокращать трудно.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 34	5.331, 5.332, 5.333, 5.334, 5.335, 5.336, 5.337, 5.338, 5.339, 5.340, 5.341, 5.342, 5.343, 5.344, 5.345, 5.346, 5.347, 5.348, 5.349, 5.350, 5.351, 5.352, 5.353, 5.354, 5.355, 5.356, 5.357, 5.358, 5.359, 5.360, 5.361, 5.362, 5.363