Задача 1
Сколько чётных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 4, 7, 8, 9? Есть ли среди них числа, кратные 5; кратные 9?
Решение
Чётное число оканчивается чётной цифрой — здесь 0, 4 или 8. Первая цифра не может быть нулём.
Если цифры могут повторяться: первая цифра — 5 вариантов (1, 4, 7, 8, 9), вторая, третья и четвёртая — по 6, последняя — 3. Всего \(5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 3 = 3240\) чисел.
Если цифры не повторяются: оканчиваются на 0 — \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120\) чисел; оканчиваются на 4 или на 8 — по \(4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96\). Всего \(120 + 96 + 96 = 312\) чисел.
Кратные 5 есть в обоих случаях — это числа, оканчивающиеся на 0 (например, 14 780).
Кратные 9: при повторении цифр есть, например 90 000 или 18 900 (сумма цифр 9 или 18). Без повторения — нет: пять разных цифр из шести — это все, кроме одной; сумма всех шести \(0 + 1 + 4 + 7 + 8 + 9 = 29\), и после вычитания любой из них (\(29 - 0\), \(29 - 1\), …, \(29 - 9\)) не получается число, делящееся на 9.
Ответ
Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5, и на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Подробнее — в теме «Свойства и признаки делимости».