Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Привести дробь к новому знаменателю — значит записать равную ей дробь с этим знаменателем. Для этого числитель и знаменатель умножают на одно и то же число — дополнительный множитель. Две дроби приводят к общему знаменателю — числу, которое делится на оба знаменателя.
Подробное объяснение
Маша съела \(\dfrac{2}{3}\) шоколадки, а Петя — \(\dfrac{3}{4}\) такой же. Кто съел больше? Сразу не скажешь: трети и четверти — доли разного размера. Если разломить обе шоколадки на 12 одинаковых долек, всё станет ясно: Маша съела 8 долек, Петя — 9. Записать дроби с одинаковыми знаменателями и значит привести их к общему знаменателю.
Новый знаменатель одной дроби
По основному свойству дроби, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число, получится равная дробь. Возьмём \(\dfrac{3}{5}\) и умножим оба числа на 4:
Говорят, что дробь \(\dfrac{3}{5}\) привели к знаменателю 20. Число 4 называют дополнительным множителем.
Как его найти, если новый знаменатель задан? Разделить новый знаменатель на старый. Приведём \(\dfrac{5}{7}\) к знаменателю 42: \(42 : 7 = 6\), значит, \(\dfrac{5}{7} = \dfrac{5 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \dfrac{30}{42}\).
Отсюда важное следствие: несократимую дробь можно привести только к такому знаменателю, который делится на её знаменатель. Дробь \(\dfrac{2}{7}\) к знаменателю 30 не привести: 30 на 7 не делится. А сократимую дробь сначала сокращают: \(\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\), и её уже можно записать со знаменателем 30 — это \(\dfrac{20}{30}\).
Общий знаменатель двух дробей
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Подойдёт любое число, которое делится на оба знаменателя. Самое простое — перемножить знаменатели: для \(\dfrac{1}{6}\) и \(\dfrac{3}{8}\) это \(6 \cdot 8 = 48\).
Но удобнее брать наименьший общий знаменатель — наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. Числа тогда получаются меньше, считать проще. Для 6 и 8 это 24, а не 48:
Как искать наименьший общий знаменатель? Берите больший знаменатель и перебирайте его кратные: 8, 16, 24, … Первое число, которое делится и на другой знаменатель, и есть ответ.
Полезно помнить три случая.
- Один знаменатель делится на другой (4 и 12) — общий знаменатель равен большему, 12. Одна дробь остаётся без изменений.
- У знаменателей нет общих делителей, кроме 1 (5 и 7) — общий знаменатель равен произведению, 35.
- Иначе (6 и 8) — ищите перебором кратных большего знаменателя.
Как решать задачи
- Если дроби сократимые, сначала сократите их — знаменатели станут меньше.
- Найдите общий знаменатель: наименьшее число, которое делится на каждый знаменатель.
- Для каждой дроби найдите дополнительный множитель: общий знаменатель разделите на её знаменатель.
- Умножьте на него и числитель, и знаменатель.
- Проверка: знаменатели новых дробей одинаковые, а каждая новая дробь после сокращения даёт исходную.
Разобранные примеры
Приводим дробь к заданному знаменателю
Приведите дробь \(\dfrac{7}{12}\) к знаменателю 60.
Дополнительный множитель: \(60 : 12 = 5\).
\(\dfrac{7}{12} = \dfrac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \dfrac{35}{60}\).
Наименьший общий знаменатель
Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби \(\dfrac{4}{9}\) и \(\dfrac{5}{6}\).
Кратные 9: 9, 18, … Число 18 делится на 6 — это наименьший общий знаменатель.
Дополнительные множители: \(18 : 9 = 2\) и \(18 : 6 = 3\).
\(\dfrac{4}{9} = \dfrac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \dfrac{8}{18}\), \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \dfrac{15}{18}\).
Сначала сокращаем
Приведите к общему знаменателю дроби \(\dfrac{10}{25}\) и \(\dfrac{12}{16}\).
Сократим: \(\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}\) (на 5), \(\dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}\) (на 4).
У 5 и 4 нет общих делителей, кроме 1, поэтому общий знаменатель \(5 \cdot 4 = 20\).
\(\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}\), \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}\).
Без сокращения пришлось бы работать с общим знаменателем 400 — числа намного больше.
Типичные ошибки
\(\dfrac{2}{3} \to \dfrac{2}{12}\) — знаменатель увеличили в 4 раза, а числитель оставили. Получилась дробь в 4 раза меньше исходной.
Числитель и знаменатель умножают на одно и то же число: \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{8}{12}\).
Чтобы из знаменателя 5 получить 10, прибавляют 5 к обоим числам: \(\dfrac{3}{5} \to \dfrac{8}{10}\). Но \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}\), а \(\dfrac{8}{10}\) — другое число. Основное свойство дроби работает только с умножением и делением.
Найдите, во сколько раз увеличился знаменатель: \(10 : 5 = 2\). Во столько же раз увеличьте числитель: \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}\).
Для \(\dfrac{5}{12}\) и \(\dfrac{7}{18}\) общий знаменатель \(12 \cdot 18 = 216\) не ошибка, но числа получаются громоздкие, а в следующих действиях растёт риск ошибиться в счёте.
Переберите кратные 18: 18, 36, … Число 36 делится на 12. Значит, \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{15}{36}\), \(\dfrac{7}{18} = \dfrac{14}{36}\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Как называют число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы привести её к новому знаменателю?
Показать ответ
Ответ: Б) Дополнительный множитель
Например, при переходе от \(\dfrac{2}{7}\) к знаменателю 21 дополнительный множитель равен \(21 : 7 = 3\).
-
Какой дополнительный множитель нужен, чтобы привести дробь \(\dfrac{3}{8}\) к знаменателю 56?
Показать ответ
Ответ: 7
\(56 : 8 = 7\), и \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{21}{56}\).
-
К каким знаменателям можно привести дробь \(\dfrac{5}{6}\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) 18; В) 30
Новый знаменатель должен делиться на 6. Это верно для 18 и 30, а 20 и 32 на 6 не делятся.
-
Найдите наименьший общий знаменатель дробей \(\dfrac{1}{9}\) и \(\dfrac{5}{6}\).
Показать ответ
Ответ: 18
Кратные 9 — 9, 18, … Первое из них, делящееся на 6, — 18.
-
Чему равна дробь \(\dfrac{7}{10}\), приведённая к знаменателю 40?
Показать ответ
Ответ: В) $\dfrac{28}{40}$
Дополнительный множитель \(40 : 10 = 4\), числитель тоже умножаем на 4: \(7 \cdot 4 = 28\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Приведите дробь \(\dfrac{4}{9}\) к знаменателю 36.
Подсказка
Узнайте, во сколько раз 36 больше 9.
Решение
Дополнительный множитель: \(36 : 9 = 4\).
\(\dfrac{4}{9} = \dfrac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \dfrac{16}{36}\).
Ответ
Сколько двадцатых долей содержится в \(\dfrac{3}{4}\)?
Подсказка
Приведите \(\dfrac{3}{4}\) к знаменателю 20.
Решение
\(20 : 4 = 5\), поэтому \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \dfrac{15}{20}\).
В \(\dfrac{3}{4}\) содержится 15 двадцатых.
Ответ
Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби \(\dfrac{5}{8}\) и \(\dfrac{7}{12}\).
Подсказка
Перебирайте числа, кратные 12, пока не найдёте делящееся на 8.
Решение
Кратные 12: 12, 24, … Число 24 делится на 8, значит, наименьший общий знаменатель — 24.
Дополнительные множители: \(24 : 8 = 3\), \(24 : 12 = 2\).
\(\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}\), \(\dfrac{7}{12} = \dfrac{14}{24}\).
Ответ
Можно ли привести дробь \(\dfrac{5}{6}\) к знаменателю 45? А к знаменателю 42?
Решение
Дробь \(\dfrac{5}{6}\) несократимая, поэтому новый знаменатель должен делиться на 6.
45 на 6 не делится (\(45 : 6 = 7\), ост. 3) — привести нельзя.
42 делится на 6: \(42 : 6 = 7\), \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{35}{42}\) — можно.
Ответ
Приведите к наименьшему общему знаменателю три дроби \(\dfrac{1}{6}\), \(\dfrac{3}{10}\) и \(\dfrac{4}{15}\).
Подсказка
Ищите наименьшее число, которое делится и на 6, и на 10, и на 15.
Решение
Кратные 15: 15, 30, … Число 30 делится и на 6, и на 10. Наименьший общий знаменатель — 30.
Дополнительные множители: \(30 : 6 = 5\), \(30 : 10 = 3\), \(30 : 15 = 2\).
\(\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{30}\), \(\dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{30}\), \(\dfrac{4}{15} = \dfrac{8}{30}\).
Ответ
Предварительно сократив, приведите к общему знаменателю дроби \(\dfrac{9}{12}\) и \(\dfrac{14}{35}\).
Подсказка
После сокращения знаменатели станут меньше, и общий знаменатель тоже.
Решение
Сократим: \(\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\) (на 3), \(\dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5}\) (на 7).
У 4 и 5 нет общих делителей, кроме 1, поэтому общий знаменатель \(4 \cdot 5 = 20\).
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}\), \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите два одинаковых листа бумаги. Первый сложите на 3 части и закрасьте 2, второй — на 4 части и закрасьте 3. Какая часть больше, сравнить трудно. Теперь сложите каждый лист так, чтобы на обоих было по 12 равных частей: на первом закрашено 8, на втором 9. Это и есть приведение к общему знаменателю — доли стали одного размера.
Вопросы для проверки понимания: 1) Как найти дополнительный множитель, если новый знаменатель известен? 2) Можно ли привести \(\dfrac{3}{7}\) к знаменателю 40 и почему? 3) Какой наименьший общий знаменатель у \(\dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{1}{6}\)?
На что обратить внимание. Следите, чтобы ребёнок умножал и числитель, и знаменатель. Повторите таблицу умножения и признаки делимости: без них трудно быстро найти наименьший общий знаменатель. Эта тема — подготовка к сравнению, сложению и вычитанию дробей с разными знаменателями, поэтому её важно довести до автоматизма.