Всегда ли верно, что число, делящееся на 3, делится и на 9?

Нет, например 12 делится на 3, но не на 9

Только для чётных чисел

Какие утверждения верны?

Сумма двух чётных чисел — чётное число

Если каждое слагаемое делится на 4, то и сумма делится на 4

Произведение делится на 5, если один из множителей делится на 5

Сумма двух нечётных чисел — нечётное число

Свойства и признаки делимости — 5 класс, математика: объяснение

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Делители и кратные

Коротко о главном

Признак делимости позволяет узнать, делится ли число на 2, 5, 10, 3 или 9, не выполняя деления. На 2, 5 и 10 смотрят на последнюю цифру, на 3 и 9 — на сумму цифр.

\text{делится на } 9 \iff \text{сумма цифр делится на } 9

Подробное объяснение

Представьте, что в классе 28 человек и учитель хочет разбить всех на пары. Получится ли без остатка? Делить не нужно: 28 оканчивается чётной цифрой, значит, пары получатся. Такие быстрые проверки и называют признаками делимости.

Два свойства делимости

Свойство произведения. Если хотя бы один множитель делится на какое-то число, то и всё произведение делится на это число. Например, $35 \cdot 17$ делится на 5, потому что $$35$$ делится на 5.

Свойство суммы и разности. Если каждое из двух чисел делится на какое-то число, то их сумма и разность тоже делятся на него. Например, $$140 + 21$$ делится на 7: $140 = 7 \cdot 20$ , $21 = 7 \cdot 3$ , сумма $= 7 \cdot 23$ .

Внимание: если одно слагаемое делится, а другое нет, сумма на это число не делится. Если не делятся оба — может быть по-разному: $$4 + 6 = 10$$ делится на 5, а $$4 + 7 = 11$$ нет.

Признаки по последней цифре

Любое число можно записать как «десятки плюс последняя цифра»: $4\,738 = 473 \cdot 10 + 8$ . Первая часть делится на 10, а значит, и на 2, и на 5. Поэтому всё решает последняя цифра.

На 10 делятся числа, которые оканчиваются нулём.
На 5 делятся числа, которые оканчиваются на 0 или 5.
На 2 делятся числа, которые оканчиваются чётной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8.

Числа, которые делятся на 2, называют чётными, а которые не делятся — нечётными. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 — чётные, а 1, 3, 5, 7, 9 — нечётные.

Если число не делится на 10 (или на 5, или на 2), остаток легко найти по последней цифре. Например, $4\,738$ при делении на 10 даёт остаток 8.

Признаки по сумме цифр

Числа $10, 100, 1\,000, …$ при делении на 9 дают остаток 1: $$10 = 9 + 1$$ , $$100 = 99 + 1$$ . Поэтому каждая цифра числа «оставляет» при делении на 9 столько, сколько она сама. Например, в числе $$522$$ пять сотен оставят 5, два десятка — 2, и ещё 2 единицы. Всего $$5 + 2 + 2 = 9$$ — это делится на 9, значит, и $$522$$ делится на 9.

На 9 делится число, сумма цифр которого делится на 9.
На 3 делится число, сумма цифр которого делится на 3.

Если сумма цифр не делится на 9 (на 3), то и число не делится.

Каждое число, которое делится на 9, делится и на 3. Обратное неверно: $$12$$ делится на 3, но не на 9.

Признаки для других чисел

Из известных признаков можно собрать новые. На 6 делятся числа, которые делятся и на 2, и на 3 (чётные с суммой цифр, кратной 3). На 100 — числа, оканчивающиеся на 00, на 1 000 — на 000.

Как решать задачи

Определите, на какое число проверяете делимость, и выберите признак: по последней цифре (2, 5, 10) или по сумме цифр (3, 9).
Для 3 и 9 сложите цифры числа. Если сумма большая, можно сложить её цифры ещё раз.
Если в числе пропущена цифра, запишите сумму известных цифр и подберите недостающую так, чтобы сумма делилась нужным образом. Помните: цифра — от 0 до 9, первая цифра числа не 0.
Для суммы или произведения сначала проверьте каждое слагаемое или множитель и примените свойство делимости.
Для делимости на 6 проверьте два признака сразу: на 2 и на 3.

Разобранные примеры

База

Проверка по последней цифре

Условие

Какие из чисел 2 350, 4 815, 9 002, 71 делятся на 2, на 5, на 10?

Решение

$2\,350$ оканчивается на 0 — делится на 2, на 5 и на 10.

$4\,815$ оканчивается на 5 — делится на 5, но не на 2 и не на 10.

$9\,002$ оканчивается на 2 — делится на 2, но не на 5 и не на 10.

$$71$$ оканчивается на 1 — не делится ни на 2, ни на 5, ни на 10.

Ответ: На 2 — 2 350 и 9 002; на 5 — 2 350 и 4 815; на 10 — только 2 350.

Средний

Пропущенная цифра

Условие

Какие цифры можно поставить вместо звёздочки в числе 8*41, чтобы оно делилось на 3?

Решение

Сумма известных цифр $$8 + 4 + 1 = 13$$ . Вместе со звёздочкой сумма должна быть кратна 3: подходят суммы 15, 18, 21. Тогда звёздочка равна $$15 - 13 = 2$$ , $$18 - 13 = 5$$ или $$21 - 13 = 8$$ . Сумма 24 потребовала бы цифру 11 — такой нет.

Ответ: 2, 5 или 8 (числа 8 241, 8 541, 8 841).

Сложный

Поровну между командами

Условие

В лагере 474 ребёнка. Можно ли разделить их поровну на 6 отрядов? А на 9 отрядов?

Решение

Число $$474$$ чётное, сумма цифр $$4 + 7 + 4 = 15$$ делится на 3, значит, $$474$$ делится на 2 и на 3, то есть на 6: $$474 : 6 = 79$$ .

Сумма цифр 15 на 9 не делится, поэтому на 9 отрядов поровну не разделить.

Ответ: На 6 отрядов можно (по 79 человек), на 9 — нельзя.

Типичные ошибки

Проверяют делимость на 3 и 9 по последней цифре

Почему неверно

Число $$13$$ оканчивается на 3, но на 3 не делится, а $$27$$ оканчивается на 7 и делится. Последняя цифра решает только для 2, 5 и 10.

Как правильно

Для 3 и 9 всегда складывайте все цифры числа.

Считают, что делящееся на 3 делится и на 9

Почему неверно

$$21$$ делится на 3 (сумма цифр 3), но $$21 : 9$$ не делится нацело. Работает только обратное: делится на 9 — значит, делится и на 3.

Как правильно

Для 9 проверяйте, делится ли на 9 именно сумма цифр.

Ставят 0 первой цифрой

Почему неверно

В задачах «вставьте цифру» ученики пишут 0 в начало числа: вместо $$?32$$ — $$032$$ . Но так число становится двузначным, первой цифрой 0 не бывает.

Как правильно

Если пропуск стоит в начале числа, выбирайте цифры от 1 до 9.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Какие из чисел 318, 405, 770, 1234, 5551 делятся на 2? Какие делятся на 5?

Подсказка

Смотрите только на последнюю цифру.

Решение

На 2 делятся числа, оканчивающиеся чётной цифрой: $$318$$ (8), $$770$$ (0), $$1234$$ (4). На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5: $$405$$ и $$770$$ . Число $$5551$$ оканчивается на 1 — не делится ни на 2, ни на 5.

Ответ

На 2 — 318, 770, 1234; на 5 — 405, 770

База Задача 2

Делится ли число 4 815 на 3? А на 9?

Подсказка

Найдите сумму цифр.

Решение

Сумма цифр $$4 + 8 + 1 + 5 = 18$$ . Число $$18$$ делится и на 3, и на 9, значит, $4\,815$ делится на 3 и на 9. Проверка: $4\,815 : 9 = 535$ .

Ответ

Делится и на 3, и на 9

Средний Задача 3

Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в числе 52*4, чтобы оно делилось на 9?

Подсказка

Сумма известных цифр плюс неизвестная должна делиться на 9.

Решение

Сумма известных цифр $$5 + 2 + 4 = 11$$ . Ближайшее число, кратное 9 и не меньшее 11, — это 18, поэтому $$* = 18 - 11 = 7$$ . Следующее кратное, 27, потребовало бы цифру 16 — такой цифры нет. Число $5\,274 = 9 \cdot 586$ .

Ответ

7

Средний Задача 4

Не вычисляя, определите, делится ли на 7 сумма 350 + 49 + 71.

Подсказка

Проверьте каждое слагаемое. Если одно не делится, сложите два других.

Решение

$350 = 7 \cdot 50$ и $49 = 7 \cdot 7$ делятся на 7, а $71 = 7 \cdot 10 + 1$ — нет. Сумма первых двух делится на 7, к ней прибавляют число с остатком 1, значит, вся сумма даёт остаток 1 и на 7 не делится. Проверка: $350 + 49 + 71 = 470 = 7 \cdot 67 + 1$ .

Ответ

Не делится (остаток 1)

Сложный Задача 5

Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое делится и на 2, и на 9, и на 5.

Подсказка

Число, делящееся на 2 и на 5, оканчивается нулём.

Решение

Число оканчивается на 0, значит, имеет вид $\overline{abc0}$ . Сумма цифр должна делиться на 9. Наименьшее четырёхзначное, $1\,000$ , даёт сумму 1. Перебираем по возрастанию числа с нулём на конце: $1\,080$ — сумма $$1 + 0 + 8 + 0 = 9$$ . Все меньшие ( $1\,000, 1\,010, …, 1\,070$ ) дают суммы от 1 до 8. Ответ — $1\,080$ .

Ответ

1080

Сложный Задача 6

Из цифр 1, 4, 5, 8 составьте (используя каждую ровно один раз) наибольшее четырёхзначное число, которое делится на 6.

Подсказка

Делится на 6 — значит, делится на 2 и на 3.

Решение

Сумма цифр $$1 + 4 + 5 + 8 = 18$$ делится на 3 при любом порядке. Остаётся, чтобы число было чётным: последней цифрой ставим 4 или 8. Для наибольшего числа впереди ставим самые большие из оставшихся цифр. С 4 на конце: $8\,514$ . С 8 на конце: $5\,418$ . Больше $8\,514$ .

Ответ

8514

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите горсть пуговиц или монет. Покажите, что 10, 20, 30 штук легко делятся на кучки по 5 и по 2, а потом предложите проверить большие числа по последней цифре. Для признака на 9 разложите 36 монет на 9 кучек и посчитайте сумму цифр: $$3 + 6 = 9$$ . Вопросы для проверки понимания: 1) Почему число $1\,234\,567$ не делится на 2? 2) Делится ли $$111$$ на 3? А на 9? 3) Какую цифру нужно дописать к числу 45, чтобы трёхзначное число делилось на 10? На что обратить внимание. Ребёнок должен помнить, какие признаки смотрят на последнюю цифру, а какие — на сумму цифр, и не путать «делится на 3» с «делится на 9».

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 19	3.370, 3.371, 3.372, 3.373, 3.374, 3.375, 3.376, 3.377, 3.378, 3.379, 3.380, 3.381, 3.382, 3.383, 3.384, 3.385, 3.386, 3.387, 3.388, 3.389, 3.390, 3.391, 3.392, 3.393, 3.394, 3.395, 3.396, 3.397, 3.398, 3.399, 3.400, 3.401, 3.402, 3.403, 3.404, 3.405, 3.406, 3.407, 3.408, 3.409, 3.410, 3.411, 3.412, 3.413, 3.414, 3.415, 3.416, 3.417, 3.418, 3.419, 3.420, 3.421, 3.422, 3.423, 3.424, 3.425, 3.426, 3.427, 3.428, 3.429, 3.430