Задача 1
Условие (кратко)
Найти произведение дробей 4/5 и 13/9 и произведение обратных им дробей. Каким свойством обладают эти произведения? Проверить на другом примере и доказать в общем виде.
Решение
\[\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{13}{9} = \dfrac{52}{45} = 1\dfrac{7}{45}, \qquad \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{9}{13} = \dfrac{45}{52}.\]
Дроби \(\dfrac{52}{45}\) и \(\dfrac{45}{52}\) взаимно обратные: их произведение равно 1.
Ещё пример: \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}\), \(\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{7}{5} = \dfrac{21}{10}\) — снова взаимно обратные числа.
В общем виде: \(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\), а \(\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{bd}{ac}\). Числитель одной дроби — знаменатель другой, значит, это взаимно обратные числа:
\[\dfrac{ac}{bd} \cdot \dfrac{bd}{ac} = 1.\]
Ответ
\(1\dfrac{7}{45}\) и \(\dfrac{45}{52}\); произведения взаимно обратны
Почему так
Произведение дробей, обратных данным, — это число, обратное произведению данных дробей.
Подробнее — в теме «Деление смешанных чисел».