Что называют дробным выражением?

Любую обыкновенную дробь с натуральными числителем и знаменателем

Выражение, в котором есть хотя бы одна десятичная дробь

Сумму нескольких обыкновенных дробей

Какие утверждения о дробном выражении верны?

Числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же число, не равное нулю, — значение не изменится

Деление числителя на знаменатель выполняют последним действием

Числителем дробного выражения может быть буквенное выражение

Сначала делят первое слагаемое числителя на знаменатель, а потом прибавляют остальное

Дробные выражения — 6 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Деление смешанных чисел

Коротко о главном

Дробное выражение — это частное двух чисел или выражений, записанное с помощью черты. Чтобы найти его значение, вычисляют числитель и знаменатель, а последним действием делят числитель на знаменатель.

\dfrac{A}{B} = A : B

Подробное объяснение

Черта вместо знака деления

Пиццу разрезали на 8 кусков и поделили на 4 человек: каждому $$8 : 4 = 2$$ куска. Ещё в 5 классе вы узнали, что частное можно записать дробью: $3 : 7 = \dfrac{3}{7}$ . Черта дроби — это тот же знак деления, только записанный по-другому.

Но делить приходится не только натуральные числа. Например, частное

\[(8{,}4 - 2{,}6) : (1{,}5 + 0{,}5)\]

тоже можно записать с помощью черты:

\dfrac{8{,}4 - 2{,}6}{1{,}5 + 0{,}5}.

Так получается дробное выражение.

Правило и названия

Дробным выражением называют запись частного двух чисел или выражений, в которой знак деления обозначен чертой.

Выражение над чертой — числитель дробного выражения, выражение под чертой — знаменатель. Ими могут быть числа (в том числе десятичные дроби и смешанные числа), числовые выражения и буквенные выражения. Например, $\dfrac{2{,}4}{0{,}8}$ , $\dfrac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{5}$ и $\dfrac{a - b}{3c}$ — дробные выражения. У последнего числитель $$a - b$$ , знаменатель $$3c$$ .

Важно понимать, что черта «обнимает» весь числитель и весь знаменатель, как скобки. Запись $\dfrac{6 + 4}{2}$ означает $$(6 + 4) : 2 = 5$$ , а не $$6 + 4 : 2$$ .

Как выполнять действия

С дробными выражениями работают по тем же правилам, что и с обыкновенными дробями.

Основное свойство. Числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, — значение не изменится. Это главный приём упрощения. Если в числителе и знаменателе десятичные дроби, умножают на 10, 100, 1000: $\dfrac{0{,}6}{0{,}15} = \dfrac{60}{15} = 4$ . Если там обыкновенные дроби или смешанные числа, умножают на их общий знаменатель, и в числителе и знаменателе получаются натуральные числа.
Сложение, вычитание, умножение. Дробные выражения складывают, вычитают и умножают так же, как дроби. Часто проще сначала найти значение каждого выражения, а потом выполнить действие.
Деление числителя на знаменатель выполняется последним.

Зачем это нужно? Дробная запись нагляднее длинной строки со скобками: сразу видно, что делится и на что. А основное свойство позволяет избавиться от «неудобных» запятых и маленьких дробей ещё до вычислений.

Как решать задачи

Определите, где числитель (всё над чертой) и где знаменатель (всё под чертой).
Если в числителе и знаменателе десятичные дроби, умножьте оба на 10, 100 или 1000, чтобы запятые исчезли.
Если там обыкновенные дроби или смешанные числа, можно умножить числитель и знаменатель на их наименьший общий знаменатель. Умножайте каждое слагаемое, а не только одно.
Если числитель или знаменатель — выражение с действиями, вычислите его по порядку действий.
Последним действием разделите значение числителя на значение знаменателя.
Сократите результат и, если получилась неправильная дробь, выделите целую часть.
Если нужно сложить или вычесть несколько дробных выражений, найдите значение каждого, а затем выполните действие.

Разобранные примеры

База

Десятичные дроби над и под чертой

Условие

Найдите значение выражения $\dfrac{6{,}3 - 2{,}7}{0{,}4 \cdot 1{,}5}$ .

Решение

Числитель: $$6{,}3 - 2{,}7 = 3{,}6$$ .
Знаменатель: $0{,}4 \cdot 1{,}5 = 0{,}6$ .
Делим числитель на знаменатель, умножив оба на 10:

\dfrac{3{,}6}{0{,}6} = \dfrac{36}{6} = 6.

Ответ: 6.

Средний

Дробь и смешанное число

Условие

Найдите значение выражения $\dfrac{\frac{2}{5}}{1\frac{1}{3}}$ .

Решение

Наименьший общий знаменатель чисел $\dfrac{2}{5}$ и $1\dfrac{1}{3}$ равен 15. Умножим на 15 числитель и знаменатель:

\dfrac{2}{5} \cdot 15 = 6, \qquad 1\dfrac{1}{3} \cdot 15 = 15 + 5 = 20.

Получаем

\dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}.

Проверка делением: $\dfrac{2}{5} : \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$ .

Ответ:

\dfrac{3}{10}

Сложный

Сумма двух дробных выражений

Условие

Найдите значение выражения $\dfrac{3}{0{,}6} + \dfrac{1{,}4}{\frac{2}{3}}$ .

Решение

$\dfrac{3}{0{,}6} = \dfrac{30}{6} = 5$ .
$1{,}4 : \dfrac{2}{3} = 1{,}4 \cdot \dfrac{3}{2} = 1{,}4 \cdot 1{,}5 = 2{,}1$ .
$$5 + 2{,}1 = 7{,}1$$ .

Ответ: 7,1.

Типичные ошибки

Делят только часть числителя

Почему неверно

Ученик вычисляет $\dfrac{6 + 4}{2}$ как $$6 + 4 : 2 = 8$$ . Но черта охватывает весь числитель: делится сумма $$6 + 4$$ , а не одно слагаемое.

Как правильно

Считайте числитель и знаменатель как выражения в скобках: $$(6 + 4) : 2 = 10 : 2 = 5$$ . Деление по черте — последнее действие.

Умножают на число только числитель

Почему неверно

Чтобы убрать запятые в $\dfrac{0{,}9}{0{,}03}$ , ученик умножает на 100 только знаменатель и получает $\dfrac{0{,}9}{3} = 0{,}3$ . Значение выражения от этого изменилось: настоящий ответ в 100 раз больше.

Как правильно

Умножайте на одно и то же число и числитель, и знаменатель: $\dfrac{0{,}9 \cdot 100}{0{,}03 \cdot 100} = \dfrac{90}{3} = 30$ .

Умножают на общий знаменатель не каждое слагаемое

Почему неверно

В выражении $\dfrac{1 + \frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$ ученик умножает на 4 только дробь в числителе: получает $\dfrac{1 + 2}{3} = 1$ . Но единицу он тоже должен был умножить на 4.

Как правильно

Если числитель — сумма, умножается каждое слагаемое: $(1 + \dfrac{1}{2}) \cdot 4 = 4 + 2 = 6$ , знаменатель $\dfrac{3}{4} \cdot 4 = 3$ , значение $\dfrac{6}{3} = 2$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите значение дробного выражения $\dfrac{4{,}5}{0{,}15}$ .

Подсказка

Умножьте числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от запятых.

Решение

Умножим числитель и знаменатель на 100 — значение не изменится:

\dfrac{4{,}5}{0{,}15} = \dfrac{4{,}5 \cdot 100}{0{,}15 \cdot 100} = \dfrac{450}{15} = 30.

Ответ

30

База Задача 2

Найдите значение выражения $\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}$ .

Подсказка

Черта означает деление. Разделите $\dfrac{3}{4}$ на $\dfrac{5}{8}$ .

Решение

Дробная черта означает деление числителя на знаменатель:

\dfrac{3}{4} : \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{5} = \dfrac{3 \cdot 8}{4 \cdot 5} = \dfrac{6}{5} = 1\dfrac{1}{5}.

Ответ

1\dfrac{1}{5}

Средний Задача 3

Найдите значение выражения $\dfrac{2\frac{1}{3}}{1\frac{3}{4}}$ .

Подсказка

Умножьте числитель и знаменатель на 12 — общий знаменатель дробей $\dfrac{1}{3}$ и $\dfrac{3}{4}$ .

Решение

Наименьший общий знаменатель чисел $2\dfrac{1}{3}$ и $1\dfrac{3}{4}$ равен 12. Умножим на 12 числитель и знаменатель:

2\dfrac{1}{3} \cdot 12 = 24 + 4 = 28, \qquad 1\dfrac{3}{4} \cdot 12 = 12 + 9 = 21.

Получаем

\dfrac{28}{21} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}.

Ответ

1\dfrac{1}{3}

Средний Задача 4

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}2 + \frac{3}{5}}{2\frac{1}{4} - 0{,}75}$ .

Подсказка

Сначала вычислите числитель и знаменатель по отдельности, удобнее — в десятичных дробях.

Решение

Числитель: $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$ , поэтому $$1{,}2 + 0{,}6 = 1{,}8$$ .
Знаменатель: $2\dfrac{1}{4} = 2{,}25$ , поэтому $$2{,}25 - 0{,}75 = 1{,}5$$ .
Делим числитель на знаменатель:

\dfrac{1{,}8}{1{,}5} = \dfrac{18}{15} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2.

Ответ

1,2

Сложный Задача 5

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}5}{\frac{3}{4}} - \dfrac{\frac{2}{3}}{0{,}8}$ .

Подсказка

Найдите значение каждого дробного выражения отдельно, затем выполните вычитание.

Решение

$1{,}5 : \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} = 2$ .
$\dfrac{2}{3} : 0{,}8 = \dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$ .
$2 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{12}{6} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{7}{6} = 1\dfrac{1}{6}$ .

Ответ

1\dfrac{1}{6}

Сложный Задача 6

Найдите значение выражения $\dfrac{a + b}{a \cdot b}$ при $$a = 2{,}5$$ и $b = 1\frac{1}{2}$ .

Подсказка

Подставьте числа, затем отдельно вычислите числитель и знаменатель.

Решение

Удобно записать $b = 1\dfrac{1}{2} = 1{,}5$ .

Числитель: $$a + b = 2{,}5 + 1{,}5 = 4$$ .
Знаменатель: $a \cdot b = 2{,}5 \cdot 1{,}5 = 3{,}75$ .
Значение выражения:

\dfrac{4}{3{,}75} = \dfrac{400}{375} = \dfrac{16}{15} = 1\dfrac{1}{15}.

Ответ

1\dfrac{1}{15}

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Напишите на листке длинный пример со скобками, например $$(7{,}5 - 1{,}5) : (1{,}2 + 0{,}8)$$ , и рядом тот же пример дробью: сверху $$7{,}5 - 1{,}5$$ , снизу $$1{,}2 + 0{,}8$$ . Попросите ребёнка сказать, что делится и на что, затем посчитать отдельно «верх» и «низ» ( $$6$$ и $$2$$ ) и разделить: получится 3. Покажите, что черта — это просто «большие скобки со знаком деления».

Вопросы для проверки понимания: 1) Что стоит в числителе и что в знаменателе выражения $\dfrac{2a + b}{4nm}$ ? 2) Почему $\dfrac{0{,}8}{0{,}2}$ равно $\dfrac{8}{2}$ ? 3) Какое действие в дробном выражении выполняется последним?

На что обратить внимание. Главные ошибки — деление только части числителя и умножение на 10 или 100 только одной части дроби. Пусть ребёнок вслух проговаривает: «считаю верх, считаю низ, потом делю».

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 17	2.507, 2.508, 2.509, 2.510, 2.511, 2.512, 2.513, 2.514, 2.515, 2.516, 2.517, 2.518, 2.519, 2.520, 2.521, 2.522, 2.523, 2.524, 2.525, 2.526, 2.527, 2.528, 2.529, 2.530, 2.531, 2.532, 2.533, 2.534, 2.535, 2.536, 2.537, 2.538, 2.539, 2.540