Деление смешанных чисел

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Умножение смешанных чисел

Коротко о главном

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными. Чтобы разделить одно число на другое, делимое умножают на число, обратное делителю. Смешанные числа перед делением записывают неправильными дробями.

\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}

Подробное объяснение

Сколько раз помещается

В кувшине 3 л компота. Его разливают в кружки по $\dfrac{1}{4}$ л. Сколько получится кружек? В каждом литре четыре четверти, значит, в трёх литрах их $3 \cdot 4 = 12$ . Мы делили на $\dfrac{1}{4}$ , а считали умножением на 4.

Так бывает всегда. Разделить на дробь — значит узнать, сколько раз она помещается в числе. Например, $\dfrac{2}{3}$ помещается в двух целых 3 раза, и $2 \cdot \dfrac{3}{2}$ тоже равно 3.

Две полосы по одному целому, каждая разрезана на три равные части. Части объединены в цветные куски по две трети, всего 3 куска. Внизу запись 2 разделить на 2/3 равно 2 умножить на 3/2 равно 3. — Разделить на 2/3 — значит узнать, сколько раз 2/3 помещается в числе. Ответ тот же, что при умножении на обратное число 3/2.

Взаимно обратные числа

Числа $\dfrac{1}{4}$ и 4, $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{3}{2}$ связаны так: их произведение равно 1. Такие числа называют взаимно обратными.

Число, обратное дроби $\dfrac{a}{b}$ (где $a \ne 0$ и $b \ne 0$ ), — это «перевёрнутая» дробь $\dfrac{b}{a}$ . Проверка простая:

\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a} = \dfrac{ab}{ba} = 1.

Натуральное число $$m$$ можно записать как $\dfrac{m}{1}$ , поэтому обратное ему — $\dfrac{1}{m}$ . Обратное к 9 — это $\dfrac{1}{9}$ .
У смешанного числа сначала нужна неправильная дробь: $2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$ , обратное — $\dfrac{3}{7}$ .
Десятичную дробь удобно записать обыкновенной: $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$ , обратное — 4.
Число 1 обратно самому себе. У нуля обратного числа нет: ноль на что ни умножай, единицы не получится.

Отсюда полезное свойство: если число умножить на $$n$$ , а потом на число, обратное $$n$$ , получится исходное число. Ведь $n \cdot \dfrac{1}{n} = 1$ .

Деление дробей

Деление — действие, обратное умножению. Поэтому разделить на число и умножить на обратное ему число — одно и то же. Правило деления дробей знакомо с 5 класса: делимое умножают на дробь, обратную делителю.

\dfrac{4}{9} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{3}.

Проверим умножением: $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$ . Верно.

Дробь делят на натуральное число так же: $\dfrac{5}{8} : 2 = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{16}$ .

Целые и дробные части отдельно делить нельзя. Чтобы найти частное двух смешанных чисел, их записывают неправильными дробями, а затем делят дроби по обычному правилу.

3\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{2} : \dfrac{7}{4} = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{4}{7} = 2.

Перед умножением полезно сократить: тогда числа остаются маленькими. Если ответ получился неправильной дробью, выделите целую часть.

Деление на смешанное число встречается в задачах на скорость, время, площадь и «сколько раз помещается». Скорость — это путь, делённый на время. Длина прямоугольника — площадь, делённая на ширину.

Как решать задачи

Запишите все смешанные числа неправильными дробями, десятичные — обыкновенными, если так удобнее.
Замените деление умножением на число, обратное делителю. Делимое не переворачивайте.
Запишите произведение одной дробью и сократите до умножения.
Перемножьте числители и знаменатели.
Из неправильной дроби в ответе выделите целую часть.
Проверьте: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.

Разобранные примеры

База

Частное двух смешанных чисел

Условие

Найдите частное $3\dfrac{3}{7} : 2\dfrac{2}{3}$ .

Решение

Запишем числа неправильными дробями: $3\dfrac{3}{7} = \dfrac{24}{7}$ , $2\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}$ .

Умножим делимое на число, обратное делителю, и сократим 24 и 8 на 8:

\dfrac{24}{7} : \dfrac{8}{3} = \dfrac{24}{7} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \dfrac{9}{7} = 1\dfrac{2}{7}.

Ответ:

1\dfrac{2}{7}

Средний

Сколько стаканов сока

Условие

В пакете $7\dfrac{1}{2}$ л сока. Его разливают в стаканы по $\dfrac{3}{10}$ л. Сколько стаканов можно наполнить?

Дано

$7\dfrac{1}{2}$ л сока
стакан $\dfrac{3}{10}$ л

Найти

число стаканов

Решение

Узнаем, сколько раз $\dfrac{3}{10}$ л помещается в $7\dfrac{1}{2}$ л, — это деление:

7\dfrac{1}{2} : \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{10}{3} = \dfrac{15 \cdot 10}{2 \cdot 3} = 25.

Проверка: $25 \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{75}{10} = 7\dfrac{1}{2}$ л.

Ответ: 25 стаканов.

Сложный

Уравнение с подобными слагаемыми

Условие

Решите уравнение $2\dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{6}x = 4\dfrac{2}{5}$ .

Решение

Вынесем $$x$$ за скобки по распределительному свойству:

\left(2\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}\right)x = 4\dfrac{2}{5}.

Вычислим коэффициент: $2\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{16}{6} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{11}{6}$ .

Получили $\dfrac{11}{6}x = \dfrac{22}{5}$ . Неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель:

x = \dfrac{22}{5} : \dfrac{11}{6} = \dfrac{22}{5} \cdot \dfrac{6}{11} = \dfrac{12}{5} = 2\dfrac{2}{5}.

Проверка: $\dfrac{11}{6} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{22}{5} = 4\dfrac{2}{5}$ . Верно.

Ответ:

x = 2\dfrac{2}{5}

Типичные ошибки

Переворачивают не ту дробь

Почему неверно

Ученик считает $\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2}$ так: $\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}$ . Он перевернул делимое. Но половина помещается в трёх четвертях больше одного раза, значит, ответ должен быть больше 1.

Как правильно

Переворачивают только делитель — число после знака деления: $\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{1} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}$ .

Делят отдельно целые и дробные части

Почему неверно

Для $8\dfrac{4}{5} : 2\dfrac{2}{5}$ ученик делит $$8 : 2 = 4$$ и $\dfrac{4}{5} : \dfrac{2}{5} = 2$ и пишет ответ 6. Проверка умножением сразу его опровергает: $6 \cdot 2\dfrac{2}{5} = 14\dfrac{2}{5}$ , а не $8\dfrac{4}{5}$ . Так по частям можно складывать, но не делить.

Как правильно

Сначала неправильные дроби, потом деление: $\dfrac{44}{5} : \dfrac{12}{5} = \dfrac{44}{5} \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{11}{3} = 3\dfrac{2}{3}$ .

Обратное смешанному числу ищут «по частям»

Почему неверно

Обратным к $2\dfrac{1}{3}$ называют $2\dfrac{3}{1}$ , то есть 5, — перевернули только дробную часть. Но $2\dfrac{1}{3} \cdot 5 = 11\dfrac{2}{3}$ , а должно получиться 1.

Как правильно

Сначала запишите неправильную дробь $2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$ и только потом переверните её: обратное число $\dfrac{3}{7}$ . Проверка: $\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{3}{7} = 1$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите число, обратное числу $3\dfrac{2}{5}$ .

Подсказка

Запишите смешанное число неправильной дробью, затем поменяйте местами числитель и знаменатель.

Решение

Запишем число неправильной дробью: $3\dfrac{2}{5} = \dfrac{17}{5}$ .

Обратное число получим, поменяв местами числитель и знаменатель: $\dfrac{5}{17}$ .

Проверка: $\dfrac{17}{5} \cdot \dfrac{5}{17} = 1$ .

Ответ

\dfrac{5}{17}

База Задача 2

Вычислите $4\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{1}{8}$ .

Подсказка

Запишите оба числа неправильными дробями и умножьте делимое на число, обратное делителю.

Решение

4\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{2} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{9 \cdot 8}{2 \cdot 9} = 4.

Ответ

4

Средний Задача 3

Вычислите $5\dfrac{5}{6} : 7$ .

Подсказка

Разделить на 7 — то же, что умножить на $\dfrac{1}{7}$ .

Решение

Запишем делимое неправильной дробью и умножим на число, обратное числу 7:

5\dfrac{5}{6} : 7 = \dfrac{35}{6} \cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{35}{6 \cdot 7} = \dfrac{5}{6}.

Ответ

\dfrac{5}{6}

Средний Задача 4

Велосипедист проехал $16\dfrac{1}{2}$ км за $1\dfrac{3}{8}$ ч. С какой скоростью он ехал?

Подсказка

Скорость равна расстоянию, делённому на время.

Решение

Дано

расстояние $16\dfrac{1}{2}$ км
время $1\dfrac{3}{8}$ ч

Найти

скорость

Чтобы найти скорость, разделим расстояние на время:

16\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{3}{8} = \dfrac{33}{2} : \dfrac{11}{8} = \dfrac{33}{2} \cdot \dfrac{8}{11} = \dfrac{33 \cdot 8}{2 \cdot 11} = 12 \text{ (км/ч)}.

Проверка: за $1\dfrac{3}{8}$ ч со скоростью 12 км/ч он проедет $12 \cdot \dfrac{11}{8} = \dfrac{33}{2} = 16\dfrac{1}{2}$ км.

Ответ

12 км/ч

Сложный Задача 5

Найдите значение выражения $\left(2\dfrac{1}{3} - 1\dfrac{5}{6}\right) : 1\dfrac{1}{4} + 3\dfrac{1}{5}$ .

Подсказка

Порядок действий: сначала скобки, потом деление, потом сложение.

Решение

Действие в скобках, общий знаменатель 6:

2\dfrac{1}{3} - 1\dfrac{5}{6} = 2\dfrac{2}{6} - 1\dfrac{5}{6} = 1\dfrac{8}{6} - 1\dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.

Деление:

\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} : \dfrac{5}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{5}.

Сложение:

\dfrac{2}{5} + 3\dfrac{1}{5} = 3\dfrac{3}{5}.

Ответ

3\dfrac{3}{5}

Сложный Задача 6

Из куска ткани длиной 10 м сшили 4 платья, на каждое ушло $1\dfrac{7}{8}$ м. Из остатка сшили фартуки, по $\dfrac{5}{8}$ м на фартук. Сколько фартуков сшили?

Подсказка

Найдите, сколько ткани ушло на платья и сколько осталось. Потом узнайте, сколько раз $\dfrac{5}{8}$ м помещается в остатке.

Решение

Дано

10 м ткани
4 платья по $1\dfrac{7}{8}$ м
фартуки по $\dfrac{5}{8}$ м

Найти

число фартуков

Ткань на платья:

1\dfrac{7}{8} \cdot 4 = \dfrac{15}{8} \cdot 4 = \dfrac{15}{2} = 7\dfrac{1}{2} \text{ (м)}.

Остаток ткани:

10 - 7\dfrac{1}{2} = 2\dfrac{1}{2} \text{ (м)}.

Число фартуков:

2\dfrac{1}{2} : \dfrac{5}{8} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{8}{5} = 4.

Ответ

4 фартука

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите 2 яблока и разрежьте каждое на 4 дольки. Спросите: сколько долек по четверти получилось из двух яблок? Восемь — то есть $2 : \dfrac{1}{4} = 2 \cdot 4 = 8$ . Потом объедините дольки по две (половинки) и спросите, сколько половинок: $2 : \dfrac{1}{2} = 2 \cdot 2 = 4$ . Ребёнок сам увидит, что деление на дробь даёт больше, чем было, и равно умножению на «перевёрнутое» число.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какое число обратно $\dfrac{5}{9}$ , числу 6, числу $1\dfrac{2}{3}$ ? 2) Почему у нуля нет обратного числа? 3) Как разделить $4\dfrac{1}{2}$ на $1\dfrac{1}{2}$ и как проверить ответ?

На что обратить внимание. Главные ошибки — переворачивают делимое вместо делителя и делят отдельно целые и дробные части. Приучите ребёнка всегда проверять частное умножением на делитель и прикидывать: при делении на число меньше 1 ответ больше делимого.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 15	2.407, 2.408, 2.409, 2.410, 2.411, 2.412, 2.413, 2.414, 2.415, 2.416, 2.417, 2.418, 2.419, 2.420, 2.421, 2.422, 2.423, 2.424, 2.425, 2.426, 2.427, 2.428, 2.429, 2.430, 2.431, 2.432, 2.433, 2.434, 2.435, 2.436, 2.437, 2.438, 2.439, 2.440, 2.441, 2.442, 2.443, 2.444, 2.445, 2.446, 2.447, 2.448, 2.449, 2.450, 2.451, 2.452, 2.453, 2.454, 2.455, 2.456, 2.457, 2.458, 2.459, 2.460, 2.461, 2.462, 2.463, 2.464, 2.465, 2.466, 2.467, 2.468, 2.469, 2.470, 2.471