Задача 1
Какое из выражений \((-a)^2\), \(-a^2\), \(a^3\) при любых значениях \(a\) будет положительным; отрицательным?
Решение
Рассмотрим каждое выражение.
\((-a)^2 = (-a) \cdot (-a)\) — произведение двух одинаковых множителей. При \(a \ne 0\) оба множителя одного знака, поэтому произведение положительно; при \(a = 0\) получаем \(0\). Например, \((-3)^2 = 9\), \((-(-3))^2 = 9\).
\(-a^2\) — число, противоположное квадрату \(a\). Квадрат \(a^2\) при \(a \ne 0\) положителен, значит, \(-a^2\) отрицательно; при \(a = 0\) получаем \(0\). Например, \(-3^2 = -9\), \(-(-3)^2 = -9\).
\(a^3\) имеет тот же знак, что и \(a\): \(2^3 = 8 > 0\), \((-2)^3 = -8 < 0\). Значит, знак \(a^3\) зависит от \(a\).
При \(a = 0\) все три выражения равны нулю, а нуль ни положителен, ни отрицателен. Поэтому точный ответ: при любом \(a \ne 0\) выражение \((-a)^2\) положительно, а \(-a^2\) отрицательно.
Ответ
Произведение двух множителей одного знака положительно, а куб числа имеет знак самого числа.
Подробнее — в теме «Умножение положительных и отрицательных чисел».