Деление положительных и отрицательных чисел

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Умножение положительных и отрицательных чисел

Коротко о главном

Чтобы разделить одно число на другое, отличное от нуля, делят модуль делимого на модуль делителя. Частное положительно, если знаки чисел одинаковые, и отрицательно, если разные. Делить на нуль нельзя.

(-a) : (-b) = a : b, \qquad (-a) : b = a : (-b) = -(a : b)

Подробное объяснение

Деление — это умножение наоборот

Зимой за 4 часа температура упала на 12 °C, то есть изменилась на −12 °C. Если она падала равномерно, то за каждый час менялась на −3 °C: ведь $4 \cdot (-3) = -12$ . Мы нашли, на какое число надо умножить 4, чтобы получить −12. Это и есть деление: $$-12 : 4 = -3$$ .

Смысл деления не меняется от того, есть у чисел минус или нет. Разделить $$a$$ на $$b$$ — значит найти такое число, которое при умножении на $$b$$ даёт $$a$$ . По известному произведению и одному множителю ищем другой множитель.

Откуда берётся знак частного

Знак подсказывает правило умножения. Вспомним: произведение чисел одного знака положительно, разных знаков — отрицательно.

Найдём $$-18 : (-6)$$ . Ищем число, которое при умножении на $$-6$$ даёт $$-18$$ . Произведение отрицательно, значит, множители разных знаков. Один множитель $$-6$$ отрицательный, поэтому искомое число положительное. А модули перемножаются: $6 \cdot ? = 18$ , это 3. Итак, $$-18 : (-6) = 3$$ .

Найдём $$-18 : 6$$ . Теперь $6 \cdot ? = -18$ . Произведение отрицательно, а 6 положительно — искомое число отрицательно. Модуль снова 3. Итак, $$-18 : 6 = -3$$ . Так же $$18 : (-6) = -3$$ .

Правило

Чтобы найти частное двух чисел, отличных от нуля, надо:

разделить модуль делимого на модуль делителя;
поставить у полученного числа знак «+», если делимое и делитель одного знака, и знак «−», если разных.

Правило знаков то же, что при умножении:

плюс на плюс и минус на минус — плюс;
плюс на минус и минус на плюс — минус.

Например, $$-3{,}6 : (-1{,}2) = 3{,}6 : 1{,}2 = 3$$ , а $$4{,}8 : (-4) = -(4{,}8 : 4) = -1{,}2$$ .

Дроби и смешанные числа

Обыкновенные дроби делят как раньше — умножая делимое на число, обратное делителю. Знак определяют отдельно, по правилу. Удобно сразу вынести минус за скобки, а с модулями работать как с обычными дробями:

\left(-\dfrac{5}{12}\right) : \dfrac{5}{6} = -\left(\dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{6}{5}\right) = -\dfrac{1}{2}.

Нуль при делении

Нуль, делённый на любое число, отличное от нуля, равен нулю: $$0 : (-7) = 0$$ , потому что $-7 \cdot 0 = 0$ . Знака у нуля нет, и плюс-минус здесь не нужен.

А вот на нуль делить нельзя. Если бы $$-7 : 0$$ равнялось какому-то числу, то это число, умноженное на 0, дало бы $$-7$$ . Но любое число, умноженное на нуль, даёт нуль. Такого числа нет.

Как решать задачи

Проверьте делитель: если он равен нулю, выражение не имеет смысла.
Если делимое равно нулю, а делитель нет, частное равно 0.
Определите знак частного: знаки одинаковые — «+», разные — «−».
Разделите модули: десятичные дроби — как в 5 классе, обыкновенные — умножением на обратное число.
Поставьте знак перед результатом.
Проверьте умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое вместе со знаком.
В выражении с несколькими действиями соблюдайте порядок действий и определяйте знак на каждом шаге отдельно.

Разобранные примеры

База

Два целых числа

Условие

Выполните деление: а) $$-91 : (-7)$$ ; б) $$91 : (-7)$$ .

Решение

Модули в обоих случаях одинаковые: $$91 : 7 = 13$$ .

а) Делимое и делитель отрицательные, знаки одинаковые — частное положительное: $$-91 : (-7) = 13$$ .

б) Знаки разные — частное отрицательное: $$91 : (-7) = -13$$ .

Проверка: $-7 \cdot 13 = -91$ , $-7 \cdot (-13) = 91$ . Верно.

Ответ: а) 13; б) −13

Средний

Дробь и смешанное число

Условие

Выполните деление $\left(-\dfrac{7}{9}\right) : \left(-2\dfrac{1}{3}\right)$ .

Решение

Оба числа отрицательные — частное положительное.
Делим модули. Смешанное число записываем неправильной дробью и умножаем на обратное:

\dfrac{7}{9} : 2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{9} : \dfrac{7}{3} = \dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}.

Значит, $\left(-\dfrac{7}{9}\right) : \left(-2\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ:

\dfrac{1}{3}

Сложный

Средняя температура недели

Условие

В течение пяти дней в полдень термометр показывал −8 °C, −5,5 °C, −2 °C, 1,5 °C и −6 °C. Найдите среднюю полуденную температуру за эти дни.

Дано

пять значений температуры −8; −5,5; −2; 1,5; −6 °C

Найти

их среднее арифметическое

Решение

Сумма отрицательных значений: $$-8 + (-5{,}5) + (-2) + (-6) = -21{,}5$$ .
Добавляем положительное: $$-21{,}5 + 1{,}5 = -20$$ .
Делим сумму на число дней. Знаки разные — частное отрицательное:

\[-20 : 5 = -(20 : 5) = -4.\]

Проверка: средняя температура лежит между самой низкой (−8 °C) и самой высокой (1,5 °C). Верно.

Ответ: −4 °C

Типичные ошибки

Путают правило знаков деления с правилом сложения

Почему неверно

Ученик пишет $$-20 : (-4) = -5$$ : «оба числа отрицательные, значит, и ответ с минусом» — так он привык складывать отрицательные числа. Но проверка умножением сразу показывает ошибку: $-4 \cdot (-5) = 20$ , а не $$-20$$ .

Как правильно

При делении, как при умножении, одинаковые знаки дают плюс: $$-20 : (-4) = 20 : 4 = 5$$ . Проверка: $-4 \cdot 5 = -20$ . Верно.

Путают деление нуля и деление на нуль

Почему неверно

Ученик считает, что $$-9 : 0 = 0$$ или $$-9 : 0 = -9$$ , а про $$0 : (-9)$$ говорит, что «так делить нельзя». Всё наоборот. Ни одно число, умноженное на 0, не даст $$-9$$ , поэтому $$-9 : 0$$ смысла не имеет. А $$0 : (-9) = 0$$ , ведь $-9 \cdot 0 = 0$ .

Как правильно

Смотрите, где стоит нуль. Нуль в делимом — частное 0. Нуль в делителе — делить нельзя.

Теряют минус, переходя к умножению на обратное число

Почему неверно

В примере $-\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8}$ ученик переписывает $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{2}{3}$ , а минус по дороге пропадает. Получается положительный ответ при разных знаках делимого и делителя.

Как правильно

Сначала определите знак и запишите его перед скобками, потом работайте с модулями: $-\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8} = -\left(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9}\right) = -\dfrac{2}{3}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Выполните деление $$-84 : 12$$ .

Подсказка

Разделите модуль делимого на модуль делителя. Знаки у чисел разные — какой знак будет у частного?

Решение

Делим модули: $$84 : 12 = 7$$ .
Делимое отрицательное, делитель положительный — знаки разные, ставим минус: $$-84 : 12 = -7$$ .

Проверка умножением: $12 \cdot (-7) = -84$ . Верно.

Ответ

−7

База Задача 2

Выполните деление $$-4{,}5 : (-0{,}9)$$ .

Подсказка

Делимое и делитель одного знака — частное положительное.

Решение

Делим модули: $$4{,}5 : 0{,}9 = 45 : 9 = 5$$ .
Оба числа отрицательные, знаки одинаковые — частное положительное: $$-4{,}5 : (-0{,}9) = 5$$ .

Проверка: $-0{,}9 \cdot 5 = -4{,}5$ . Верно.

Ответ

5

Средний Задача 3

Выполните деление $-2\dfrac{4}{5} : 1\dfrac{1}{5}$ .

Подсказка

Запишите модули неправильными дробями и умножьте делимое на число, обратное делителю.

Решение

Знаки разные, значит, частное отрицательное.
Делим модули:

2\dfrac{4}{5} : 1\dfrac{1}{5} = \dfrac{14}{5} : \dfrac{6}{5} = \dfrac{14}{5} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3} = 2\dfrac{1}{3}.

Ставим минус: $-2\dfrac{4}{5} : 1\dfrac{1}{5} = -2\dfrac{1}{3}$ .

Ответ

-2\dfrac{1}{3}

Средний Задача 4

За 6 часов температура воздуха равномерно изменилась на −10,8 °C. На сколько градусов она изменялась за каждый час?

Подсказка

Изменение за час — это всё изменение, делённое на число часов.

Решение

Дано

изменение за 6 ч равно −10,8 °C
температура менялась равномерно

Найти

изменение за 1 ч

Делим общее изменение на число часов. Знаки разные, частное отрицательное:

$$-10{,}8 : 6 = -(10{,}8 : 6) = -1{,}8$$ (°C).

Значит, каждый час температура понижалась на 1,8 °C.

Проверка: $-1{,}8 \cdot 6 = -10{,}8$ . Верно.

Ответ

−1,8 °C (каждый час температура понижалась на 1,8 °C)

Сложный Задача 5

Найдите неизвестный множитель $$x$$ , если $-3{,}2 \cdot x = 8$ .

Подсказка

Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель.

Решение

Неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель:

$$x = 8 : (-3{,}2)$$ .

Делим модули: $$8 : 3{,}2 = 80 : 32 = 2{,}5$$ . Знаки разные — ставим минус: $$x = -2{,}5$$ .

Проверка: $-3{,}2 \cdot (-2{,}5) = 8$ . Верно.

Ответ

\(x = -2{,}5\)

Сложный Задача 6

Вычислите $$(-7{,}2 : 0{,}8 - 3) : (-2{,}4) - 0 : (-13)$$ .

Подсказка

Сначала действия в скобках, затем деление; помните, чему равно частное нуля и числа, отличного от нуля.

Решение

$$-7{,}2 : 0{,}8 = -(7{,}2 : 0{,}8) = -9$$ .
$$-9 - 3 = -9 + (-3) = -12$$ .
$$-12 : (-2{,}4) = 12 : 2{,}4 = 5$$ — знаки одинаковые, частное положительное.
$$0 : (-13) = 0$$ .
$$5 - 0 = 5$$ .

Ответ

5

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Напомните ребёнку, что деление проверяют умножением, и спросите: «На что надо умножить −5, чтобы получить −30?» Пусть подберёт число и проверит по правилу знаков умножения — получится 6, значит, $$-30 : (-5) = 6$$ . Затем разберите $$-30 : 5$$ и $$30 : (-5)$$ . Ребёнок сам заметит, что знаки работают так же, как при умножении: одинаковые — плюс, разные — минус. В конце спросите, на что надо умножить 0, чтобы получить −30, — так станет понятно, почему на нуль делить нельзя.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какой знак у частного двух отрицательных чисел? 2) Чему равно $$0 : (-8)$$ , а чему $$-8 : 0$$ ? 3) Как проверить, что $$-36 : 9 = -4$$ ?

На что обратить внимание. Главная ловушка — перенести на деление правило сложения отрицательных чисел («два минуса — ответ с минусом»). Просите ребёнка после каждого примера делать проверку умножением: она занимает несколько секунд и сразу ловит ошибку в знаке. Следите и за тем, чтобы при делении дробей минус не терялся при переходе к умножению на обратное число.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 34	4.305, 4.306, 4.307, 4.308, 4.309, 4.310, 4.311, 4.312, 4.313, 4.314, 4.315, 4.316, 4.317, 4.318, 4.319, 4.320, 4.321, 4.322, 4.323, 4.324, 4.325, 4.326, 4.327, 4.328, 4.329, 4.330, 4.331, 4.332, 4.333, 4.334, 4.335, 4.336, 4.337, 4.338