Произведение двух чисел — отрицательное число. Что можно сказать о множителях?

Они разных знаков

Оба отрицательные

Оба положительные

Один из них равен нулю

Умножение положительных и отрицательных чисел

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Модуль числа

Коротко о главном

Чтобы умножить два числа, отличных от нуля, перемножают их модули и ставят знак: «+», если множители одного знака, и «−», если разных. Короче: минус на плюс даёт минус, минус на минус даёт плюс.

(-a) \cdot b = -(a \cdot b), \qquad (-a) \cdot (-b) = a \cdot b

Подробное объяснение

Минус на плюс

Пусть уровень воды в пруду каждый день меняется на −2 см: пруд мелеет. На сколько изменится уровень за 3 дня? Каждый день вода опускается на 2 см, значит, за три дня — на 6 см. Изменение равно −6 см. Получается, что

(-2) \cdot 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6.

На координатной прямой это три шага по 2 единичных отрезка влево от нуля.

Координатная прямая от −7 до 1. Три синие дуги с подписью −2 ведут от нуля влево к точкам −2, −4 и −6. Ниже записано 3 · (−2) = (−2) + (−2) + (−2) = −6. — Умножить −2 на 3 — значит трижды сдвинуться на 2 единичных отрезка влево; произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.

Умножение на положительное число — это повторение одного и того же слагаемого. Если слагаемое отрицательное, сумма тоже отрицательная, а её модуль равен произведению модулей. От перестановки множителей произведение не меняется, поэтому и $3 \cdot (-2) = -6$ .

Правило для чисел с разными знаками

Чтобы найти произведение двух чисел с разными знаками, надо:

перемножить модули чисел;
поставить перед полученным числом знак «−».

Например, $-2{,}4 \cdot 0{,}5 = -(2{,}4 \cdot 0{,}5) = -1{,}2$ и $8 \cdot (-0{,}3) = -2{,}4$ . Первый отрицательный множитель можно не брать в скобки: $(-2{,}4) \cdot 0{,}5$ и $-2{,}4 \cdot 0{,}5$ — одно и то же. Второй множитель в скобки брать обязательно: запись $8 \cdot -0{,}3$ неверна.

Минус на минус

Сравним три произведения:

4 \cdot 3 = 12, \qquad (-4) \cdot 3 = -12, \qquad (-4) \cdot (-3) = ?

Заметим: если сменить знак у одного множителя, знак произведения меняется, а модуль остаётся тем же. От $4 \cdot 3$ к $(-4) \cdot 3$ знак сменился один раз — получили $$-12$$ . Если сменить знак ещё и у второго множителя, знак произведения сменится ещё раз и снова станет плюсом: $(-4) \cdot (-3) = 12$ .

Есть и житейский смысл. Пусть уровень воды меняется на −2 см в день. Каким он был 3 дня назад, то есть через −3 дня? Выше, чем сейчас, на 6 см: изменение за −3 дня равно $(-2) \cdot (-3) = 6$ см.

Чтобы найти произведение двух отрицательных чисел, надо перемножить их модули: $(-4{,}8) \cdot (-7) = 4{,}8 \cdot 7 = 33{,}6$ .

Общий алгоритм

Чтобы найти произведение двух чисел, отличных от нуля:

перемножьте модули множителей;
поставьте знак «+», если множители одного знака, и «−», если разных.

Если один из множителей равен нулю, произведение равно нулю: $-238 \cdot 0 = 0$ . У нуля знака нет, писать «−0» не нужно. Умножение на $$-1$$ даёт противоположное число: $-1 \cdot 9 = -9$ , $-1 \cdot (-9) = 9$ .

Все свойства умножения — переместительное, сочетательное, распределительное — верны и для отрицательных чисел. Поэтому несколько множителей перемножают по порядку или группируют удобно: $(-25) \cdot 7 \cdot (-4) = \bigl((-25) \cdot (-4)\bigr) \cdot 7 = 100 \cdot 7 = 700$ .

Как решать задачи

Посмотрите на знаки множителей и сразу решите, каким будет знак ответа.
Перемножьте модули — как обычные числа. Дроби и смешанные числа умножайте по правилам 5–6 класса.
Поставьте знак, определённый в шаге 1.
Если множителей больше двух, умножайте по два: результат первой пары — на следующий множитель. Ищите пары, которые дают круглые числа.
В текстовой задаче запишите уменьшение, спуск, движение назад или время в прошлом отрицательными числами, а затем перемножьте.
Проверьте знак ответа ещё раз.

Разобранные примеры

База

Числа с разными и одинаковыми знаками

Условие

Найдите произведения $-9 \cdot 6$ и $(-9) \cdot (-6)$ .

Решение

Модули в обоих случаях одинаковые: $9 \cdot 6 = 54$ .

В $-9 \cdot 6$ множители разных знаков — ставим минус: $$-54$$ .
В $(-9) \cdot (-6)$ оба множителя отрицательные — произведение положительное: $$54$$ .

Ответ:

\(-54\)

;

\(54\)

Средний

Смешанные числа

Условие

Найдите произведение $-1\dfrac{2}{3} \cdot \left(-2\dfrac{1}{4}\right)$ .

Решение

Оба множителя отрицательные, значит, произведение положительное.
Перемножаем модули, обратив их в неправильные дроби:

1\dfrac{2}{3} \cdot 2\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{5 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \dfrac{15}{4} = 3\dfrac{3}{4}.

Ответ:

3\dfrac{3}{4}

Сложный

Три множителя

Условие

Вычислите удобным способом $-2{,}5 \cdot 7{,}3 \cdot (-4)$ .

Решение

Переставим множители и сгруппируем $$-2{,}5$$ и $$-4$$ : их модули дают $2{,}5 \cdot 4 = 10$ .

$(-2{,}5) \cdot (-4) = 10$ — оба множителя отрицательные.
$10 \cdot 7{,}3 = 73$ .

Ответ: 73

Типичные ошибки

Переносят на умножение правило сложения отрицательных чисел

Почему неверно

Ученик пишет $(-3) \cdot (-4) = -12$ , потому что «у отрицательных чисел ответ отрицательный». Но так устроено сложение: $$-3 + (-4) = -7$$ . У умножения своё правило: смена знака у каждого множителя меняет знак произведения, две смены возвращают плюс.

Как правильно

Множители одного знака — произведение положительное: $(-3) \cdot (-4) = 12$ .

Применяют «минус на минус даёт плюс» к сложению

Почему неверно

Запомнив новое правило, ученик пишет $$-3 + (-4) = 7$$ . Но правило знаков относится только к умножению. При сложении двух отрицательных чисел мы уходим ещё дальше влево от нуля, сумма отрицательна.

Как правильно

Сначала посмотрите на действие. Сложение: $$-3 + (-4) = -7$$ . Умножение: $(-3) \cdot (-4) = 12$ .

Ставят знак по первой паре множителей

Почему неверно

В примере $(-2) \cdot (-3) \cdot (-5)$ ученик видит «минус на минус — плюс» и пишет 30. Но третий множитель тоже отрицательный, и он ещё раз меняет знак.

Как правильно

Умножайте по два: $(-2) \cdot (-3) = 6$ , затем $6 \cdot (-5) = -30$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите произведение $-7 \cdot 8$ .

Подсказка

Множители разных знаков — произведение отрицательное.

Решение

Перемножаем модули: $7 \cdot 8 = 56$ .
Множители разных знаков, поэтому ставим знак «−»: $-7 \cdot 8 = -56$ .

Ответ

−56

База Задача 2

Найдите произведение $(-0{,}6) \cdot (-0{,}5)$ .

Подсказка

Оба множителя отрицательные — произведение положительное.

Решение

Перемножаем модули: $0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}3$ .
Множители одного знака, поэтому произведение положительное: $(-0{,}6) \cdot (-0{,}5) = 0{,}3$ .

Ответ

0,3

Средний Задача 3

Найдите произведение $-2\dfrac{1}{4} \cdot 1\dfrac{1}{3}$ .

Подсказка

Обратите смешанные числа в неправильные дроби и перемножьте модули.

Решение

Модули множителей: $2\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}$ , $1\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$ .
Произведение модулей:

\dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{9 \cdot 4}{4 \cdot 3} = 3.

Множители разных знаков, ставим минус: $-2\dfrac{1}{4} \cdot 1\dfrac{1}{3} = -3$ .

Ответ

−3

Средний Задача 4

Вычислите $(-0{,}25) \cdot (-12) \cdot (-1{,}5)$ .

Подсказка

Умножайте по порядку — сначала первые два множителя, потом результат на третий.

Решение

$(-0{,}25) \cdot (-12) = 0{,}25 \cdot 12 = 3$ — оба множителя отрицательные, произведение положительное.
$3 \cdot (-1{,}5) = -(3 \cdot 1{,}5) = -4{,}5$ — множители разных знаков.

Ответ

−4,5

Сложный Задача 5

Температура воздуха всё утро меняется на −2,5 °C каждый час. Сейчас термометр показывает −4 °C. Какой была температура 3 часа назад?

Подсказка

Время «3 часа назад» запишите числом −3 и умножьте на него изменение за час.

Решение

Дано

изменение за час −2,5 °C
сейчас −4 °C
время −3 ч (3 часа назад)

Найти

температуру 3 часа назад

Изменение температуры за время −3 ч: $-2{,}5 \cdot (-3) = 2{,}5 \cdot 3 = 7{,}5$ (°C). Оба множителя отрицательные, произведение положительное: 3 часа назад было на 7,5 °C теплее.
Температура 3 часа назад: $$-4 + 7{,}5 = 3{,}5$$ (°C).

Проверка: за 3 часа от 3,5 °C температура изменится на $-2{,}5 \cdot 3 = -7{,}5$ °C, и $$3{,}5 + (-7{,}5) = -4$$ . Верно.

Ответ

3,5 °C

Сложный Задача 6

Вычислите удобным способом $-4{,}7 \cdot (-3{,}6) + (-4{,}7) \cdot (-6{,}4)$ .

Подсказка

У обоих слагаемых есть общий множитель $$-4{,}7$$ — вынесите его за скобки.

Решение

Распределительное свойство умножения верно и для отрицательных чисел. Вынесем общий множитель $$-4{,}7$$ :

-4{,}7 \cdot (-3{,}6) + (-4{,}7) \cdot (-6{,}4) = -4{,}7 \cdot \bigl((-3{,}6) + (-6{,}4)\bigr) = -4{,}7 \cdot (-10) = 47.

Сумма в скобках: $$-3{,}6 + (-6{,}4) = -10$$ . Оба множителя отрицательные, поэтому $-4{,}7 \cdot (-10) = 47$ .

Ответ

47

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Начните с копилки: «Каждый день из копилки берут 10 рублей, это изменение −10. Сколько изменится сумма за 4 дня?» — минус 40, это $-10 \cdot 4$ . Затем: «А сколько было в копилке 4 дня назад по сравнению с сегодняшним?» На 40 рублей больше — это $-10 \cdot (-4) = 40$ . Так правило «минус на минус даёт плюс» получает смысл. Потом дайте 5–6 примеров вперемешку и попросите сначала назвать только знак ответа, а потом посчитать.

Вопросы для проверки понимания: 1) Каким будет знак произведения двух чисел с разными знаками? 2) Чему равно $(-7) \cdot (-7)$ , а чему $$-7 + (-7)$$ ? 3) Может ли произведение двух отрицательных чисел быть отрицательным?

На что обратить внимание. Главная путаница — между правилами сложения и умножения. Приучайте ребёнка сначала смотреть на действие, потом на знаки. Второй частый промах — потерянные скобки: $5 \cdot (-2)$ нельзя записывать как $5 \cdot -2$ . Деление чисел с разными знаками — в следующей теме, там знаки ставятся по тому же правилу.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 33	4.266, 4.267, 4.268, 4.269, 4.270, 4.271, 4.272, 4.273, 4.274, 4.275, 4.276, 4.277, 4.278, 4.279, 4.280, 4.281, 4.282, 4.283, 4.284, 4.285, 4.286, 4.287, 4.288, 4.289, 4.290, 4.291, 4.292, 4.293, 4.294, 4.295, 4.296, 4.297, 4.298, 4.299, 4.300, 4.301, 4.302, 4.303, 4.304