Упражнение 4.383 к § 36

Частное равно 1, когда делимое равно делителю, а делить на нуль нельзя.

Значит, \(a = c\) и \(c \ne 0\). Например, \(a = c = -5\): \(\dfrac{-5}{-5} = 1\).

Частное равно нулю, когда делимое равно нулю, а делитель не равен нулю.

Значит, \(a = 0\), \(c \ne 0\). Например, \(\dfrac{0}{-7} = 0\).

Модуль частного равен 1, значит, \(|a| = |c|\); частное отрицательно, значит, знаки \(a\) и \(c\) разные.

Итак, \(a\) и \(c\) — противоположные числа, не равные нулю: \(a = -c\), \(c \ne 0\). Например, \(\dfrac{3}{-3} = -1\).

Здесь делимое \(c\), делитель \(a\). Частное равно нулю, когда делимое равно нулю, а делитель — нет.

Значит, \(c = 0\), \(a \ne 0\). Например, \(\dfrac{0}{4} = 0\).

Частное положительно, когда делимое и делитель имеют одинаковые знаки (и оба не равны нулю).

Значит, \(a > 0\) и \(c > 0\) или \(a < 0\) и \(c < 0\). Например, \(\dfrac{-6}{-2} = 3 > 0\).

Частное отрицательно, когда делимое и делитель имеют разные знаки (и оба не равны нулю).

Значит, \(c > 0\) и \(a < 0\) или \(c < 0\) и \(a > 0\). Например, \(\dfrac{5}{-1} = -5 < 0\).

Частное должно быть положительным, поэтому \(a\) и \(c\) одного знака. Модуль частного больше 1, значит, модуль делимого больше модуля делителя: \(|a| > |c|\), \(c \ne 0\).

Например, \(\dfrac{8}{2} = 4 > 1\), \(\dfrac{-9}{-3} = 3 > 1\). А при \(a = 2\), \(c = 8\) получаем \(\dfrac{1}{4} < 1\) — не подходит.

Делитель \(a \ne 0\). Частное меньше 1 в трёх случаях:

1. \(c = 0\) — частное равно \(0 < 1\);

2. \(c\) и \(a\) разных знаков — частное отрицательно, значит, меньше 1;

3. \(c\) и \(a\) одного знака и \(|c| < |a|\) — частное положительно, но меньше 1.

Например, \(\dfrac{2}{5} < 1\), \(\dfrac{-7}{3} < 1\), \(\dfrac{0}{-4} < 1\). Не подходят случаи, когда \(c\) и \(a\) одного знака и \(|c| \ge |a|\).