Свойства действий с рациональными числами

Старые законы для новых чисел

В 5 классе вы считали \(25 \cdot 17 \cdot 4\) не по порядку, а так: \(25 \cdot 4 = 100\), потом \(100 \cdot 17 = 1700\). Это законное «жульничество»: множители можно переставлять и группировать. Теперь в задачах появились отрицательные числа. Например, утром на счёте магазина было \(+120\) тыс. р., потом пришли платежи \(-45\), \(+30\), \(-55\) тыс. р. Можно ли и здесь считать в любом порядке? Можно: свойства действий для рациональных чисел остаются теми же.

Свойства сложения и умножения

Для любых рациональных чисел \(a\), \(b\) и \(c\):

• \(a + b = b + a\) — переместительное свойство сложения;
• \(a + (b + c) = (a + b) + c\) — сочетательное свойство сложения;
• \(a \cdot b = b \cdot a\) — переместительное свойство умножения;
• \(a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\) — сочетательное свойство умножения;
• \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\) — распределительное свойство умножения.

Проверим на примере: \(-7 + 3 = -4\) и \(3 + (-7) = -4\). Или \((-2) \cdot 5 = -10\) и \(5 \cdot (-2) = -10\). Равенства верны.

Как это помогает считать

Сумму из нескольких положительных и отрицательных чисел удобно считать так: отдельно сложить положительные, отдельно — отрицательные, а потом сложить два результата. Для магазина: \(120 + 30 = 150\), \(-45 + (-55) = -100\), итого \(150 + (-100) = 50\) тыс. р.

Запись \(8 - 13 + 2\) — это сумма \(8 + (-13) + 2\). Поэтому, переставляя слагаемые, знак «минус» переносят вместе с числом: \(8 - 13 + 2 = 8 + 2 - 13 = -3\).

В произведении множители группируют так, чтобы получались круглые числа: \((-4) \cdot 9 \cdot 25 = (-4 \cdot 25) \cdot 9 = -900\). Знак произведения при перестановке не меняется: он зависит только от того, сколько множителей отрицательны (чётное число — плюс, нечётное — минус).

Свойства нуля и единицы

Для любого рационального числа \(a\):

• \(a + 0 = a\) — прибавление нуля не меняет числа;
• \(a + (-a) = 0\) — сумма противоположных чисел равна нулю;
• \(a \cdot 1 = a\) — умножение на 1 не меняет числа;
• \(a \cdot \dfrac{1}{a} = 1\), если \(a \ne 0\), — произведение числа на обратное ему равно 1;
• \(a \cdot 0 = 0\) — умножение на нуль даёт нуль.

Свойство противоположных чисел особенно полезно: в сумме \(-56 + 19 + 56\) числа \(-56\) и \(56\) «уничтожают» друг друга, остаётся 19.

Когда произведение равно нулю

Если \(a \cdot b = 0\), то \(a = 0\) или \(b = 0\) (может быть и так, что оба числа нули). Других способов получить нуль при умножении нет. Поэтому выражение \((-3{,}2 + 3{,}2) \cdot 417 \cdot (-9)\) равно нулю без всяких вычислений: первый множитель — нуль. А уравнение \((x - 4) \cdot x = 0\) имеет два корня: \(x = 4\) и \(x = 0\).

Как решать задачи

1. Посмотрите на выражение целиком: нет ли противоположных чисел, множителя 0 или пар, дающих круглое число (4 и 25, 0,5 и 2, 0,125 и 8)?
2. Перепишите разности как суммы: \(a - b = a + (-b)\). Тогда каждое число «несёт» свой знак.
3. Переставьте и сгруппируйте слагаемые: противоположные — вместе, положительные — вместе, отрицательные — вместе. Смешанные числа с одинаковыми знаменателями дробных частей — тоже вместе.
4. В произведении сначала определите знак (сосчитайте отрицательные множители), потом перемножайте модули в удобном порядке.
5. Если у нескольких произведений есть общий множитель, вынесите его за скобки по распределительному свойству.
6. Если произведение равно нулю, приравняйте к нулю каждый множитель по очереди.