Упражнение 6.64 к § 43

Если \(x \le 0\), то \(x^2 \ge 0 \ge x\), и неравенство не выполняется (при \(x = 0\) обе части равны 0).

Если \(x > 0\), то \(x^2 = x \cdot x\). Умножение на \(x < 1\) уменьшает число, на \(x = 1\) не меняет, на \(x > 1\) увеличивает. Поэтому \(x^2 < x\) только при \(0 < x < 1\).

Например, \(x = \dfrac{1}{2}\): \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}\).

\(x^3 = x^2 \cdot x\), причём \(x^2 > 0\) при \(x \ne 0\).

Если \(x < 0\), то \(x^3 < 0 < x^2\) — неравенство выполняется.

Если \(x = 0\), обе части равны 0 — не выполняется.

Если \(0 < x < 1\), то умножение \(x^2\) на \(x < 1\) уменьшает его: \(x^3 < x^2\) — выполняется.

Если \(x \ge 1\), то \(x^3 \ge x^2\) — не выполняется.

Если \(x < 0\), то \(x^2 > 0 > x\) — выполняется.

Если \(0 \le x \le 1\), то \(x^2 \le x\) (при 0 и 1 — равенство) — не выполняется.

Если \(x > 1\), умножение на \(x > 1\) увеличивает число: \(x^2 > x\) — выполняется.

\(x^3 = x^2 \cdot x\). При \(x \le 0\) имеем \(x^3 \le 0 \le x^2\) — не выполняется.

При \(0 < x \le 1\) умножение на \(x\) не увеличивает \(x^2\) — не выполняется.

При \(x > 1\) умножение на \(x\) увеличивает \(x^2\): \(x^3 > x^2\) — выполняется.

Из пунктов б) и г): при \(x < 0\) и \(0 < x < 1\) квадрат больше куба, при \(x > 1\) — меньше. Остаются \(x = 0\) и \(x = 1\).

Проверка: \(0^2 = 0^3 = 0\); \(1^2 = 1^3 = 1\).