Какие утверждения верны?

Оси координат перпендикулярны друг другу

У любой точки оси абсцисс ордината равна нулю

В записи координат первой пишут ординату

Точки (2; 7) и (7; 2) совпадают

Координатная плоскость — 6 класс, математика: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Перпендикулярные прямые

Коротко о главном

Две перпендикулярные координатные прямые с общим началом $$O$$ задают систему координат на плоскости. Положение каждой точки определяет пара чисел: абсцисса (первое число, по оси $$x$$ ) и ордината (второе число, по оси $$y$$ ).

A(3; 2):\ \text{абсцисса } 3,\ \text{ордината } 2

Подробное объяснение

Зачем два числа

В кинотеатре на билете два числа: ряд и место. Одного «ряда 7» мало — неизвестно, в какое кресло садиться. Одного «места 12» тоже мало. А вместе они указывают ровно одно кресло. Так же устроен и морской бой: «Б5» — столбец и строка.

На координатной прямой положение точки задаёт одно число. Но на листе бумаги точка может сдвинуться и вправо-влево, и вверх-вниз, поэтому нужны два числа.

Система координат

Проведём две координатные прямые, перпендикулярные друг другу, так, чтобы их начала отсчёта совпали. Эти прямые называют осями координат, а их общую точку $$O$$ — началом координат. Горизонтальная ось $$x$$ — ось абсцисс, положительное направление на ней вправо. Вертикальная ось $$y$$ — ось ординат, положительное направление вверх. Единичный отрезок на обеих осях обычно одинаковый, на клетчатой бумаге удобно брать одну или две клетки.

Плоскость, на которой задана такая система координат, называют координатной плоскостью.

Координатная плоскость с осями x и y от −5 до 5 и началом O. Отмечены точки A(3; 2), B(2; 3), C(−4; −2), D(0; −4) и E(−3; 0); от A проведены пунктиры к осям, к делениям 3 и 2. — Абсцисса точки A равна 3, ордината — 2. Точка B(2; 3) с переставленными координатами — уже другая точка.

Абсцисса и ордината

Чтобы найти координаты точки $$A$$ , опустим из неё перпендикуляры на обе оси. Перпендикуляр к оси $$x$$ попадает в число 3 — это абсцисса точки. Перпендикуляр к оси $$y$$ попадает в число 2 — это ордината. Записывают так: $$A(3; 2)$$ . Читают: «точка А с абсциссой три и ординатой два» или «точка А с координатами три и два». Числа разделяют точкой с запятой, потому что в самих координатах может встретиться десятичная запятая: $$(2{,}5; -1)$$ .

Порядок важен. Первой всегда пишут абсциссу, второй — ординату. Точки $$A(3; 2)$$ и $$B(2; 3)$$ — разные.

Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел, и каждой паре чисел — одна точка.

Знаки координат и точки на осях

Абсцисса положительна, если точка правее оси ординат, и отрицательна, если левее. Ордината положительна, если точка выше оси абсцисс, и отрицательна, если ниже. Например, точка $$C(-4; -2)$$ лежит левее и ниже начала координат.

Если точка лежит на оси абсцисс, то её ордината равна нулю: $$E(-3; 0)$$ . Если на оси ординат — равна нулю абсцисса: $$D(0; -4)$$ . У начала координат обе координаты нули: $$O(0; 0)$$ .

Как решать задачи

Найти координаты точки. Опустите перпендикуляр на ось $$x$$ и прочитайте число — это абсцисса. Опустите перпендикуляр на ось $$y$$ — это ордината. Запишите в скобках: сначала абсциссу, потом ординату.
Построить точку по координатам. Из начала координат отсчитайте по оси $$x$$ абсциссу: вправо, если она положительна, влево — если отрицательна. Затем от этого места отсчитайте ординату: вверх, если она положительна, вниз — если отрицательна. Поставьте точку и подпишите её.
Точка с нулевой координатой. Если абсцисса 0, двигаться вправо-влево не нужно — точка на оси $$y$$ . Если ордината 0, точка на оси $$x$$ .
Длина отрезка вдоль линии клеток. Если у концов одинаковые ординаты, отрезок горизонтален, и его длина — разность абсцисс (из большей вычесть меньшую). Если одинаковые абсциссы — разность ординат.
Проверка. Посмотрите на рисунок: точка с отрицательной абсциссой должна стоять левее оси $$y$$ , с отрицательной ординатой — ниже оси $$x$$ .

Разобранные примеры

База

Построить две точки

Условие

Постройте точки $$P(-4; 3)$$ и $$Q(3; -4)$$ . Совпадают ли они?

Решение

Точка $$P$$ : от начала координат идём по оси $$x$$ на 4 единичных отрезка влево (абсцисса $$-4$$ ), затем на 3 вверх (ордината 3).

Точка $$Q$$ : от начала координат идём на 3 единичных отрезка вправо, затем на 4 вниз.

$$P$$ лежит левее оси ординат и выше оси абсцисс, а $$Q$$ — правее оси ординат и ниже оси абсцисс. Это разные точки: числа те же, но стоят на разных местах.

Ответ: Не совпадают.

Средний

Длина и середина отрезка

Условие

Единичный отрезок равен 1 см. Даны точки $$A(-5; -2)$$ и $$B(3; -2)$$ . Найдите длину отрезка $$AB$$ и координаты его середины.

Дано

$$A(-5; -2)$$
$$B(3; -2)$$
единичный отрезок 1 см

Найти

$$AB$$ и середину $$M$$

Решение

Ординаты равны, значит, $$AB$$ параллелен оси абсцисс. Длина — разность абсцисс: $$3 - (-5) = 8$$ (см).
Середина делит отрезок пополам: $$8 : 2 = 4$$ (см) от каждого конца.
От абсциссы $$-5$$ сдвигаемся на 4 вправо: $$-5 + 4 = -1$$ . Ордината та же, $$-2$$ . Проверка: от $$-1$$ до $$3$$ тоже 4 единичных отрезка.

Ответ: 8 см; середина

\(M(-1; -2)\)

.

Сложный

Четвёртая вершина квадрата

Условие

Точки $$A(-2; -1)$$ , $$B(-2; 3)$$ и $$C(2; 3)$$ — три вершины квадрата $$ABCD$$ . Найдите координаты вершины $$D$$ и площадь квадрата, если единичный отрезок равен 1 см.

Дано

$$A(-2; -1)$$
$$B(-2; 3)$$
$$C(2; 3)$$

Найти

$$D$$ и площадь $$S$$

Решение

У $$A$$ и $$B$$ абсциссы равны, сторона $$AB$$ вертикальна, её длина $$3 - (-1) = 4$$ (см).
У $$B$$ и $$C$$ ординаты равны, сторона $$BC$$ горизонтальна, её длина $$2 - (-2) = 4$$ (см). Стороны равны — квадрат действительно получается.
Вершина $$D$$ лежит под $$C$$ (абсцисса 2) на уровне $$A$$ (ордината $$-1$$ ): $$D(2; -1)$$ .
$S = 4 \cdot 4 = 16$ (см²).

Ответ:

\(D(2; -1)\)

; 16 см².

Типичные ошибки

Переставляют абсциссу и ординату

Почему неверно

Строя точку $$(2; -5)$$ , ученик сначала идёт на 2 вверх, а потом на 5 влево и попадает в точку $$(-5; 2)$$ . Это совсем другое место на плоскости.

Как правильно

Первое число — всегда по оси $$x$$ (вправо или влево), второе — по оси $$y$$ (вверх или вниз). Помогает подсказка: буквы идут по алфавиту — сначала $$x$$ , потом $$y$$ .

Ставят точку с нулевой координатой не на ту ось

Почему неверно

Точку $$(0; 5)$$ отмечают на оси абсцисс у числа 5. Но абсцисса равна 0 — значит, вправо-влево двигаться не нужно, и точка лежит на оси ординат.

Как правильно

Нуль на первом месте — точка на оси $$y$$ ; нуль на втором месте — точка на оси $$x$$ . Точка $$(0; 5)$$ стоит на 5 единичных отрезков выше начала координат.

Считают длину отрезка без учёта знаков

Почему неверно

Для отрезка от $$(-3; 1)$$ до $$(4; 1)$$ ученик вычисляет $$4 - 3 = 1$$ . Но от $$-3$$ до $$0$$ уже 3 единичных отрезка, и ещё 4 — от $$0$$ до $$4$$ .

Как правильно

Вычитайте из большей координаты меньшую со знаком: $$4 - (-3) = 7$$ . Или пересчитайте клетки на рисунке.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Какие из точек лежат на оси абсцисс, а какие — на оси ординат: $$A(0; 7)$$ , $$B(-3; 0)$$ , $$C(0; 0)$$ , $$D(4; -4)$$ , $$E(0; -2)$$ ?

Подсказка

У точек оси абсцисс ордината равна нулю, у точек оси ординат абсцисса равна нулю.

Решение

На оси абсцисс лежат точки с ординатой 0: это $$B(-3; 0)$$ и $$C(0; 0)$$ .

На оси ординат лежат точки с абсциссой 0: это $$A(0; 7)$$ , $$C(0; 0)$$ и $$E(0; -2)$$ .

Точка $$C(0; 0)$$ — начало координат, она лежит на обеих осях. Точка $$D(4; -4)$$ не лежит ни на одной оси: обе её координаты не равны нулю.

Ответ

На оси абсцисс —

\(B\)

и

\(C\)

; на оси ординат —

\(A\)

,

\(C\)

и

\(E\)

;

\(D\)

— ни на одной оси

База Задача 2

Единичный отрезок равен 1 см. Отметьте точки $$A(-3; 1)$$ и $$B(4; 1)$$ и найдите длину отрезка $$AB$$ .

Подсказка

У точек одинаковая ордината, значит, отрезок идёт вдоль оси абсцисс. Сосчитайте единичные отрезки от абсциссы −3 до абсциссы 4.

Решение

Ординаты точек равны, поэтому отрезок $$AB$$ параллелен оси абсцисс, и его длина равна расстоянию между абсциссами.

От $$-3$$ до $$0$$ — 3 единичных отрезка, от $$0$$ до $$4$$ — ещё 4. Всего $$3 + 4 = 7$$ единичных отрезков.

То же разностью: $$4 - (-3) = 7$$ . Единичный отрезок 1 см, значит, $$AB = 7$$ см.

Ответ

7 см

Средний Задача 3

Три вершины прямоугольника $$ABCD$$ — точки $$A(-4; -1)$$ , $$B(-4; 3)$$ , $$C(2; 3)$$ . Найдите координаты вершины $$D$$ .

Подсказка

Стороны прямоугольника здесь идут по линиям клеток. Вершина $$D$$ лежит на одной вертикали с $$C$$ и на одной горизонтали с $$A$$ .

Решение

У точек $$A$$ и $$B$$ одинаковые абсциссы, поэтому сторона $$AB$$ вертикальна. У $$B$$ и $$C$$ одинаковые ординаты — сторона $$BC$$ горизонтальна.

Значит, сторона $$CD$$ тоже вертикальна: у $$D$$ та же абсцисса, что у $$C$$ , то есть 2.

Сторона $$AD$$ горизонтальна: у $$D$$ та же ордината, что у $$A$$ , то есть $$-1$$ .

Получаем $$D(2; -1)$$ . Постройте все четыре точки и убедитесь, что получился прямоугольник.

Ответ

\(D(2; -1)\)

Средний Задача 4

Вершины прямоугольника — $$K(-3; -2)$$ , $$L(-3; 4)$$ , $$M(5; 4)$$ , $$N(5; -2)$$ . Единичный отрезок 1 см. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

Подсказка

Длина вертикальной стороны — расстояние между ординатами, горизонтальной — между абсциссами.

Решение

Дано

$$K(-3; -2)$$
$$L(-3; 4)$$
$$M(5; 4)$$
$$N(5; -2)$$
единичный отрезок 1 см

Найти

периметр $$P$$ и площадь $$S$$

$$KL$$ вертикальна: от $$-2$$ до $$4$$ — $$4 - (-2) = 6$$ (см).
$$LM$$ горизонтальна: от $$-3$$ до $$5$$ — $$5 - (-3) = 8$$ (см).
$P = 2 \cdot (6 + 8) = 28$ (см).
$S = 6 \cdot 8 = 48$ (см²).

Ответ

28 см; 48 см²

Сложный Задача 5

Робот стоит в начале координат. Он проходит 3 единичных отрезка вправо, 5 вверх, 7 влево и 2 вниз. В какой точке он окажется и какой путь пройдёт?

Подсказка

Движения вправо и влево меняют только абсциссу, вверх и вниз — только ординату.

Решение

Дано

старт в $$O(0; 0)$$ ; вправо 3
вверх 5
влево 7
вниз 2

Найти

конечную точку и длину пути

Абсцисса: вправо 3 — это $$+3$$ , влево 7 — это $$-7$$ . $$0 + 3 - 7 = -4$$ .
Ордината: вверх 5 — это $$+5$$ , вниз 2 — это $$-2$$ . $$0 + 5 - 2 = 3$$ .
Конечная точка — $$(-4; 3)$$ .
Путь — сумма всех перемещений без учёта направления: $$3 + 5 + 7 + 2 = 17$$ единичных отрезков.

Ответ

Точка

\((-4; 3)\)

; путь 17 единичных отрезков

Сложный Задача 6

Квадрат имеет вершины $$(-2; -2)$$ , $$(-2; 2)$$ , $$(2; 2)$$ и $$(2; -2)$$ . Сколько точек с целыми координатами лежит внутри квадрата (не на его сторонах)?

Подсказка

Внутри квадрата абсцисса точки больше −2 и меньше 2. Какие целые числа подходят? То же для ординаты.

Решение

Внутри квадрата абсцисса точки больше $$-2$$ и меньше $$2$$ . Целые абсциссы: $$-1$$ , $$0$$ , $$1$$ — три значения.

Ордината тоже больше $$-2$$ и меньше $$2$$ : $$-1$$ , $$0$$ , $$1$$ — три значения.

Каждая абсцисса сочетается с каждой ординатой: $3 \cdot 3 = 9$ точек. Это $$(-1; -1)$$ , $$(-1; 0)$$ , $$(-1; 1)$$ , $$(0; -1)$$ , $$(0; 0)$$ , $$(0; 1)$$ , $$(1; -1)$$ , $$(1; 0)$$ , $$(1; 1)$$ .

Ответ

9 точек

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и проведите две перпендикулярные линии — оси. Сыграйте в «клад»: вы прячете клад в точке, например $$(-3; 2)$$ , а ребёнок ищет его, двигаясь сначала вправо-влево, потом вверх-вниз. Затем поменяйтесь ролями: ребёнок ставит точку, а вы называете её координаты — и иногда нарочно ошибаетесь в порядке чисел, чтобы он вас поправил.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какое число в записи $$(4; -1)$$ — абсцисса, а какое — ордината? 2) Где лежат все точки, у которых ордината равна нулю? 3) Совпадают ли точки $$(1; 6)$$ и $$(6; 1)$$ ?

На что обратить внимание. Главная ошибка — порядок координат: просите ребёнка проговаривать «сначала по $$x$$ , потом по $$y$$ ». Следите, чтобы при отрицательной абсциссе он шёл влево, а при отрицательной ординате — вниз, и чтобы подписывал точки сразу после построения.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 43	6.45, 6.46, 6.47, 6.48, 6.49, 6.50, 6.51, 6.52, 6.53, 6.54, 6.55, 6.56, 6.57, 6.58, 6.59, 6.60, 6.61, 6.62, 6.63, 6.64, 6.65, 6.66, 6.67, 6.68, 6.69, 6.70, 6.71, 6.72, 6.73, 6.74, 6.75, 6.76, 6.77, 6.78, 6.79, 6.80, 6.81, 6.82, 6.83, 6.84, 6.85, 6.86