Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Любое положительное число больше нуля, а ноль больше любого отрицательного числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. На координатной прямой меньшее число лежит левее.
Подробное объяснение
Где теплее
В понедельник на улице было −2 °C, а во вторник −10 °C. Когда было теплее? Конечно, в понедельник: при −2 °C лужи едва подмёрзли, а при −10 °C уже настоящий мороз. Значит, число −2 считают большим, чем −10: \(-2 > -10\). А летние +20 °C теплее любого мороза, поэтому \(20 > -10\).
Термометр — это та же координатная прямая, только вертикальная: чем выше столбик, тем больше число. На горизонтальной прямой с направлением вправо большее число лежит правее, а меньшее — левее.
Правила сравнения
- Любое положительное число больше любого отрицательного. Например, \(0{,}1 > -1000\): точка 0,1 лежит правее нуля, а точка −1000 — левее.
- Любое положительное число больше нуля, любое отрицательное — меньше нуля. Ноль стоит между отрицательными и положительными числами: \(-7 < 0 < 7\).
- Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним −8 и −3. Модули: \(|-8| = 8\), \(|-3| = 3\). Модуль у −3 меньше, значит, \(-3 > -8\).
Почему в третьем правиле всё «наоборот»? Модуль — это расстояние от точки до нуля. Чем дальше отрицательное число от нуля, тем левее оно лежит, а чем левее, тем меньше. Число −8 удалено от нуля на 8 единиц, а −3 — всего на 3, поэтому −8 лежит левее и оно меньше.
Положительные числа сравнивают как обычно: \(5 > 2\), \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{1}{2}\).
Десятичные и обыкновенные дроби со знаком минус
Для дробей работает то же правило: сначала сравните модули как обычные дроби, а потом «переверните» знак неравенства.
- Сравним \(-0{,}7\) и \(-0{,}65\). Модули \(0{,}70 > 0{,}65\), значит, \(-0{,}7 < -0{,}65\).
- Сравним \(-\dfrac{2}{3}\) и \(-\dfrac{3}{5}\). Приводим модули к знаменателю 15, \(\dfrac{10}{15} > \dfrac{9}{15}\), значит, \(-\dfrac{2}{3} < -\dfrac{3}{5}\).
Знак неравенства «переворачивается» только тогда, когда оба числа отрицательные. Если знаки разные, модули сравнивать не нужно — положительное число сразу больше.
Порядок чисел
Чтобы расположить несколько чисел в порядке возрастания, удобно разбить их на группы: сначала отрицательные (от самого большого модуля к самому маленькому), потом ноль, потом положительные (от меньшего к большему). В порядке убывания — наоборот. Так, например, упорядочивают высоты мест над уровнем моря: впадины ниже уровня моря записывают отрицательными числами, и они оказываются в начале списка по возрастанию.
Как решать задачи
- Посмотрите на знаки чисел.
- Если знаки разные, больше то число, которое положительное. Если одно из чисел — ноль, сравните другое с нулём по знаку.
- Если оба числа положительные — сравните их как обычно.
- Если оба отрицательные — найдите модули и сравните их. Больше то число, у которого модуль меньше.
- Дроби с разными знаменателями приведите к общему знаменателю, у десятичных дробей уравняйте число знаков после запятой.
- Проверьте себя по координатной прямой: большее число должно лежать правее.
Разобранные примеры
Три пары чисел
Сравните числа: а) −8 и 3; б) 0 и −0,6; в) −14 и −41.
а) Число −8 отрицательное, 3 положительное. Любое положительное число больше отрицательного: \(-8 < 3\).
б) Отрицательное число меньше нуля: \(0 > -0{,}6\).
в) Оба числа отрицательные. Модули: \(|-14| = 14\), \(|-41| = 41\), \(14 < 41\). Больше то число, чей модуль меньше: \(-14 > -41\).
Смешанное число и десятичная дробь
Сравните числа \(-2\dfrac{3}{4}\) и \(-2{,}7\).
Оба числа отрицательные, сравним модули \(2\dfrac{3}{4}\) и 2,7.
Переведём дробь в десятичную: \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\), поэтому \(2\dfrac{3}{4} = 2{,}75\).
\(2{,}75 > 2{,}70\) — модуль числа \(-2\dfrac{3}{4}\) больше. Значит, само число меньше.
Пять чисел по возрастанию
Расположите в порядке возрастания числа \(-\dfrac{1}{2}\); \(-0{,}45\); \(-\dfrac{3}{5}\); \(0{,}1\); \(-1\).
Запишем все обыкновенные дроби десятичными: \(-\dfrac{1}{2} = -0{,}5\), \(-\dfrac{3}{5} = -0{,}6\).
Положительное число одно — 0,1, оно самое большое.
Отрицательные числа: \(-0{,}5\); \(-0{,}45\); \(-0{,}6\); \(-1\). Их модули: 0,50; 0,45; 0,60; 1. По возрастанию модулей: \(0{,}45 < 0{,}5 < 0{,}6 < 1\). Самое маленькое отрицательное число — с самым большим модулем, поэтому по возрастанию: \(-1 < -0{,}6 < -0{,}5 < -0{,}45\).
Вместе с положительным числом: \(-1 < -\dfrac{3}{5} < -\dfrac{1}{2} < -0{,}45 < 0{,}1\).
Типичные ошибки
Ученик пишет \(-15 > -3\), «потому что 15 больше 3». Но −15 °C — это мороз сильнее, чем −3 °C, то есть холоднее. На координатной прямой −15 лежит левее −3, значит, оно меньше.
У отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: \(|-3| < |-15|\), поэтому \(-3 > -15\).
Ученик располагает числа −4, 0, 2 по возрастанию так: 0, −4, 2 — «ноль ведь меньше всех, это ничего». Но ноль меньше только положительных чисел. Любое отрицательное число меньше нуля.
Ноль стоит между отрицательными и положительными числами: \(-4 < 0 < 2\).
Сравнивая −2,5 и −2,49, ученик рассуждает: «49 больше 5, значит, модуль 2,49 больше, и \(-2{,}49 < -2{,}5\)». Но 0,49 меньше 0,5 — это ошибка сравнения десятичных дробей, а не правило про минус.
Уравняйте число знаков после запятой: \(2{,}50 > 2{,}49\). Модуль −2,5 больше, поэтому \(-2{,}5 < -2{,}49\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какое из чисел больше — −25 или −3?
Показать ответ
Ответ: Б) −3, потому что его модуль меньше
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, поэтому \(-3 > -25\).
-
Какие неравенства верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) −0,1 > −1; В) 0 > −100
Отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного, а из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше, поэтому верны только \(-0{,}1 > -1\) и \(0 > -100\).
-
Найдите наибольшее из чисел −4; −1,5; −2; −7.
Показать ответ
Ответ: -1,5
Все числа отрицательные; наибольшее — с наименьшим модулем, это \(-1{,}5\).
-
На горизонтальной координатной прямой отмечены точки A(−6) и B(−2). Какое утверждение верно?
Показать ответ
Ответ: А) Точка A лежит левее точки B, и −6 < −2
Точка с меньшей координатой лежит левее; \(-6 < -2\), поэтому A левее B.
-
Сколько целых чисел больше −3 и меньше 2?
Показать ответ
Ответ: 4
Это числа \(-2\), \(-1\), 0 и 1 — четыре числа; сами \(-3\) и 2 не подходят.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Утром термометр показывал −15 °C, а днём −9 °C. Когда было теплее? Сравните числа −15 и −9.
Подсказка
Оба числа отрицательные. Больше то, у которого модуль меньше.
Решение
Оба числа отрицательные. Сравним модули: \(|-15| = 15\), \(|-9| = 9\), \(9 < 15\).
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, поэтому \(-9 > -15\). Днём было теплее.
Ответ
Сравните числа −7,4 и −7,04.
Подсказка
Сначала сравните модули 7,4 и 7,04 как обычные десятичные дроби.
Решение
Модули: \(|-7{,}4| = 7{,}4\) и \(|-7{,}04| = 7{,}04\). Уравняем число знаков после запятой: \(7{,}40 > 7{,}04\).
Модуль числа \(-7{,}4\) больше, значит, само число меньше: \(-7{,}4 < -7{,}04\).
Ответ
Сравните числа \(-\dfrac{5}{6}\) и \(-\dfrac{7}{9}\).
Подсказка
Приведите модули к общему знаменателю 18.
Решение
Модули чисел: \(\dfrac{5}{6}\) и \(\dfrac{7}{9}\). Приведём их к знаменателю 18:
\(\dfrac{15}{18} > \dfrac{14}{18}\), значит, модуль числа \(-\dfrac{5}{6}\) больше. У отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше, поэтому \(-\dfrac{5}{6} < -\dfrac{7}{9}\).
Ответ
Расположите числа в порядке возрастания — −2,5; 3; −2,05; 0; −3; 1,7.
Подсказка
Сначала выпишите отрицательные числа (от большего модуля к меньшему), затем 0, затем положительные.
Решение
Отрицательные числа: \(-2{,}5\); \(-2{,}05\); \(-3\). Их модули: 2,5; 2,05; 3. Самое маленькое отрицательное — с наибольшим модулем: \(-3 < -2{,}5 < -2{,}05\).
Дальше идёт 0 — он больше любого отрицательного числа.
Положительные числа: \(1{,}7 < 3\).
Получаем: \(-3 < -2{,}5 < -2{,}05 < 0 < 1{,}7 < 3\).
Ответ
Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство −2,*5 > −2,45?
Подсказка
Оба числа отрицательные. Чтобы число было больше, его модуль должен быть меньше.
Решение
Оба числа отрицательные, поэтому неравенство \(-2{,}{*}5 > -2{,}45\) верно, когда модуль левого числа меньше: \(2{,}{*}5 < 2{,}45\).
Целые части равны, сравниваем дробные: \(0{,}{*}5 < 0{,}45\), то есть двузначное число «\(*5\)» должно быть меньше 45. Подходят 05, 15, 25, 35; число 45 не подходит — получится равенство.
Значит, вместо звёздочки можно поставить 0, 1, 2 или 3.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите уличный термометр или нарисуйте его на листе: деления от −20 до +20. Спросите, когда теплее — при −5 или при −12 градусах, при −1 или при +1. Ребёнок почти всегда ответит верно; после этого скажите, что «теплее» и значит «больше». Затем положите термометр горизонтально — получится координатная прямая, где большее число лежит правее.
Вопросы для проверки понимания: 1) Что больше: −100 или 0,01? Почему? 2) Как сравнить −6,3 и −6,03? 3) Может ли отрицательное число быть больше положительного?
На что обратить внимание. Главная ошибка — сравнивать отрицательные числа по модулю и не «переворачивать» знак неравенства. Попросите ребёнка проговаривать: «оба отрицательные — больше то, что ближе к нулю». Для дробей проверьте, что ребёнок уверенно сравнивает обычные десятичные и обыкновенные дроби: ошибки там переходят и в эту тему.