Задача 1
Условие (кратко)
Вычислить наиболее простым способом 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + … + 1/(9·10).
Решение
Заметим: \(\dfrac{1}{1 \cdot 2} = \dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{2 \cdot 3} = \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\), и вообще
\[\dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}.\]
Поэтому сумма равна
\[\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{10}\right).\]
Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, остаётся \(1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}\).
Ответ
\(\dfrac{9}{10}\)
Почему так
Каждую дробь вида 1/(n(n+1)) записывают как разность 1/n − 1/(n+1), и почти все слагаемые сокращаются.
Подробнее — в теме «Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей».