Ученик решил так — 3/4 + 1/6 = 3/12 + 1/12 = 4/12. В чём ошибка?

Числители не умножены на дополнительные множители

Неверно найден общий знаменатель

Знаменатели нужно было сложить

Сравнение, сложение и вычитание дробей

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Коротко о главном

Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их сначала приводят к наименьшему общему знаменателю. Потом сравнивают, складывают или вычитают числители, а знаменатель оставляют тем же.

\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}

Подробное объяснение

Аня съела треть шоколадки, а Боря — четверть такой же шоколадки. Кто съел больше и сколько они съели вместе? Сравнить «на глаз» треть и четверть ещё можно, а вот сложить сразу не получится: части разного размера. Это как складывать 3 рубля и 4 копейки — сначала нужно перевести всё в одни единицы.

В 5 классе вы складывали дроби с одинаковыми знаменателями: $\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{7}$ . Там части одинаковые, и мы просто считаем, сколько их. Значит, задача — сделать части одинаковыми. Для этого и нужен общий знаменатель.

Разрежем шоколадку на 12 равных кусочков. Треть — это 4 кусочка, четверть — 3 кусочка: $\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ , $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$ . Теперь всё видно: Аня съела больше, а вместе они съели $\dfrac{7}{12}$ шоколадки.

Три одинаковые полоски по 12 клеток. В первой закрашена треть, это 4 клетки; во второй — четверть, 3 клетки; в третьей подряд 4 и 3 клетки, всего 7 из 12. — Треть и четверть удобно сравнивать и складывать, когда полоска разделена на 12 равных частей — общий знаменатель 12.

Правило

Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо:

привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
сравнить, сложить или вычесть получившиеся дроби с одинаковыми знаменателями.

Наименьший общий знаменатель — это НОК знаменателей. Можно взять и любой другой общий знаменатель, например произведение знаменателей, ответ получится тот же. Но числа будут больше, и в конце придётся дольше сокращать.

После сложения или вычитания посмотрите на ответ. Если дробь можно сократить — сократите. Если она неправильная, выделите целую часть: $\dfrac{17}{15} = 1\dfrac{2}{15}$ .

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Поэтому после приведения к общему знаменателю дроби сравнивают по числителям: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ и $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$ , значит, $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$ .

Бывает и удобный частный случай — одинаковые числители. Тогда больше та дробь, у которой знаменатель меньше: $\dfrac{3}{5} > \dfrac{3}{8}$ . Пятая часть больше восьмой, а взяли их поровну, по три.

Свойства сложения помогают считать

Для дробей верны те же законы, что и для натуральных чисел. Слагаемые можно переставлять и группировать, а сумму можно вычитать по частям. Поэтому сначала стоит поискать дроби с одинаковыми знаменателями или такие, что вместе дают целое:

\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{9} = \left(\dfrac{2}{9} + \dfrac{7}{9}\right) + \dfrac{5}{8} = 1 + \dfrac{5}{8} = 1\dfrac{5}{8}.

Здесь общий знаменатель всех трёх дробей вообще не понадобился.

Как решать задачи

Посмотрите на всё выражение: нет ли дробей с одинаковыми знаменателями, которые удобно сгруппировать.
Найдите наименьший общий знаменатель — НОК знаменателей. Иногда больший знаменатель уже делится на меньший, тогда он и есть общий.
Для каждой дроби найдите дополнительный множитель: общий знаменатель разделите на её знаменатель.
Умножьте на дополнительный множитель и числитель, и знаменатель.
Сравните, сложите или вычтите числители, знаменатель оставьте общим.
Сократите ответ, если можно, а неправильную дробь обратите в смешанное число.
Проверьте прикидкой: сумма больше каждого слагаемого, разность меньше уменьшаемого.

Разобранные примеры

База

Что больше

Условие

Сравните дроби $\dfrac{7}{12}$ и $\dfrac{5}{8}$ .

Решение

Наименьший общий знаменатель: НОК(12, 8) = 24. Дополнительные множители: $$24 : 12 = 2$$ , $$24 : 8 = 3$$ .

$\dfrac{7}{12} = \dfrac{14}{24}$ , $\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}$ .

Так как $$14 < 15$$ , то $\dfrac{14}{24} < \dfrac{15}{24}$ .

Ответ:

\dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{8}

Средний

Три дроби в одном выражении

Условие

Вычислите $\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18} - \dfrac{1}{4}$ .

Решение

Наименьший общий знаменатель: НОК(12, 18, 4) = 36. Дополнительные множители: $$36 : 12 = 3$$ , $$36 : 18 = 2$$ , $$36 : 4 = 9$$ .

\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{36} + \dfrac{14}{36} - \dfrac{9}{36} = \dfrac{20}{36} = \dfrac{5}{9}.

Дробь $\dfrac{20}{36}$ сократили на 4.

Ответ:

\dfrac{5}{9}

Сложный

Наполняем бак

Условие

Оля налила в пустой бак $\dfrac{3}{8}$ его объёма, а Петя — ещё $\dfrac{5}{12}$ объёма. Кто налил больше? Какая часть бака осталась пустой?

Дано

Оля налила $\dfrac{3}{8}$ бака
Петя — $\dfrac{5}{12}$ бака

Найти

кто налил больше и какая часть бака пуста

Решение

Приведём дроби к знаменателю 24: $\dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24}$ , $\dfrac{5}{12} = \dfrac{10}{24}$ . Так как $\dfrac{10}{24} > \dfrac{9}{24}$ , Петя налил больше.
$\dfrac{9}{24} + \dfrac{10}{24} = \dfrac{19}{24}$ (бака) — налили вместе.
$1 - \dfrac{19}{24} = \dfrac{24}{24} - \dfrac{19}{24} = \dfrac{5}{24}$ (бака) — осталось пустым.

Ответ: Петя налил больше; пустой осталась

\dfrac{5}{24}

бака.

Типичные ошибки

Складывают числители с числителями, а знаменатели со знаменателями

Почему неверно

Ученик пишет $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}$ . Но $\dfrac{2}{5}$ меньше половины, а сумма должна быть больше каждого слагаемого. Знаменатель показывает размер долей, и складывать размеры бессмысленно.

Как правильно

Сначала сделайте доли одинаковыми: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$ . Складываются только числители.

Меняют знаменатель, но забывают про числитель

Почему неверно

Ученик пишет $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{1}{12}$ . Но $\dfrac{3}{12}$ — это четверть, а не три четверти: дробь изменилась в 3 раза.

Как правильно

На дополнительный множитель умножают и знаменатель, и числитель: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{9}{12}$ , $\dfrac{1}{6} = \dfrac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \dfrac{2}{12}$ . Разность равна $\dfrac{7}{12}$ .

Считают, что дробь с большим знаменателем больше

Почему неверно

Ученик решает, что $\dfrac{3}{8} > \dfrac{3}{5}$ , потому что 8 больше 5. Но чем больше знаменатель, тем мельче доли: восьмая часть пирога меньше пятой.

Как правильно

При одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем: $\dfrac{3}{5} > \dfrac{3}{8}$ . Если различаются и числители, и знаменатели, приводите к общему знаменателю.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Сравните дроби $\dfrac{4}{9}$ и $\dfrac{5}{12}$ .

Подсказка

Наименьший общий знаменатель чисел 9 и 12 — 36.

Решение

НОК(9, 12) = 36. Дополнительные множители: $$36 : 9 = 4$$ , $$36 : 12 = 3$$ .

$\dfrac{4}{9} = \dfrac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \dfrac{16}{36}$ , $\dfrac{5}{12} = \dfrac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \dfrac{15}{36}$ .

Так как $\dfrac{16}{36} > \dfrac{15}{36}$ , то $\dfrac{4}{9} > \dfrac{5}{12}$ .

Ответ

\dfrac{4}{9} > \dfrac{5}{12}

База Задача 2

Вычислите $\dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{15}$ .

Подсказка

Приведите дроби к знаменателю 30.

Решение

НОК(10, 15) = 30. Дополнительные множители: $$30 : 10 = 3$$ , $$30 : 15 = 2$$ .

$\dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{9}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{13}{30}$ .

Дробь несократимая: у 13 и 30 нет общих делителей, кроме 1.

Ответ

\dfrac{13}{30}

Средний Задача 3

Вычислите $\dfrac{11}{12} - \dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{6}$ .

Подсказка

Общий знаменатель всех трёх дробей — 24.

Решение

НОК(12, 8, 6) = 24. Дополнительные множители: 2, 3 и 4.

$\dfrac{11}{12} - \dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{22}{24} - \dfrac{15}{24} + \dfrac{4}{24} = \dfrac{22 - 15 + 4}{24} = \dfrac{11}{24}$ .

Ответ

\dfrac{11}{24}

Средний Задача 4

Расположите в порядке возрастания дроби $\dfrac{2}{3}$ , $\dfrac{5}{8}$ и $\dfrac{7}{12}$ .

Подсказка

Приведите все три дроби к знаменателю 24 и сравните числители.

Решение

НОК(3, 8, 12) = 24.

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{24}$ , $\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}$ , $\dfrac{7}{12} = \dfrac{14}{24}$ .

Числители по возрастанию: 14, 15, 16. Значит, $\dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{8} < \dfrac{2}{3}$ .

Ответ

\dfrac{7}{12}

,

\dfrac{5}{8}

,

\dfrac{2}{3}

Сложный Задача 5

Велосипедист в первый час проехал $\dfrac{2}{5}$ всего пути, во второй — $\dfrac{1}{3}$ пути. Какую часть пути ему осталось проехать?

Подсказка

Весь путь — это 1. Сначала узнайте, какую часть пути он проехал за два часа.

Решение

Дано

за первый час проехал $\dfrac{2}{5}$ пути
за второй — $\dfrac{1}{3}$ пути

Найти

какая часть пути осталась

$\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ (пути) — проехал за два часа.
$1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$ (пути) — осталось проехать.

Проверка: $\dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{15}{15} = 1$ — весь путь.

Ответ

\dfrac{4}{15}

пути

Сложный Задача 6

Найдите значение выражения удобным способом $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{5}$ .

Подсказка

Сгруппируйте дроби со знаменателем 6, а две вычитаемые дроби объедините в одну сумму.

Решение

Переставим слагаемые и вычтем сумму двух дробей сразу:

\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} - \left(\dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{5}\right) = 1 - \left(\dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{10}\right) = 1 - \dfrac{5}{10} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}.

Общий знаменатель понадобился только для двух дробей, а не для всех четырёх.

Ответ

\dfrac{1}{2}

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите полоску бумаги длиной 12 см. Попросите ребёнка отметить треть полоски (4 см) и четверть (3 см). Теперь видно, что треть больше, а вместе они занимают 7 см из 12, то есть $\dfrac{7}{12}$ . Объясните: 12 подошло потому, что оно делится и на 3, и на 4. Это и есть общий знаменатель.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему нельзя сложить $\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{1}{3}$ , просто сложив числители и знаменатели? 2) Что больше, $\dfrac{2}{7}$ или $\dfrac{2}{9}$ , и почему можно ответить без вычислений? 3) Какой общий знаменатель удобен для дробей $\dfrac{1}{6}$ и $\dfrac{3}{8}$ ?

На что обратить внимание. Самая частая ошибка — сложить знаменатели. Приучайте к прикидке: сумма двух дробей не может быть меньше одной из них. Следите, чтобы дополнительный множитель умножался и на числитель, и на знаменатель, и чтобы ответ в конце был сокращён.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 10	2.148, 2.149, 2.150, 2.151, 2.152, 2.153, 2.154, 2.155, 2.156, 2.157, 2.158, 2.159, 2.160, 2.161, 2.162, 2.163, 2.164, 2.165, 2.166, 2.167, 2.168, 2.169, 2.170, 2.171, 2.172, 2.173, 2.174, 2.175, 2.176, 2.177, 2.178, 2.179, 2.180, 2.181, 2.182, 2.183, 2.184, 2.185, 2.186, 2.187, 2.188, 2.189, 2.190, 2.191, 2.192, 2.193, 2.194, 2.195, 2.196, 2.197, 2.198, 2.199, 2.200, 2.201, 2.202, 2.203, 2.204