Математика. 6 класс · Виленкин, Жохов, Чесноков · § 7

Упражнение 2.84 к § 7

§ 7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа · тема: Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Задача 1

Условие (кратко)

а) Представить нечётные числа, большие 5, но меньшие 20, в виде суммы с наименьшим числом простых слагаемых (слагаемые могут повторяться); сформулировать предположение.

Решение

Нечётные числа от 7 до 19: 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Сумма двух простых чисел нечётна, только если одно из них равно 2 (иначе оба нечётные и сумма чётная). Поэтому пробуем $$n = 2 + (n - 2)$$ :

$$7 = 2 + 5$$ , $$9 = 2 + 7$$ , $$13 = 2 + 11$$ , $$15 = 2 + 13$$ , $$19 = 2 + 17$$ — двух слагаемых достаточно.

Для 11 и 17 числа $$11 - 2 = 9$$ и $$17 - 2 = 15$$ составные, поэтому двумя слагаемыми не обойтись — нужно три: $$11 = 3 + 3 + 5$$ , $$17 = 3 + 3 + 11$$ (подходят и $$2 + 2 + 7$$ , $$2 + 2 + 13$$ ).

Предположение: каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых слагаемых (а если оно на 2 больше простого числа — даже двух).

Замечание: сами 7, 11, 13, 17, 19 — простые числа; если считать «суммой» одно слагаемое, для них хватит одного, но по образцу ( $$7 = 2 + 2 + 3$$ ) речь идёт о сумме нескольких слагаемых. Образец $$7 = 2 + 2 + 3$$ подсказывает и общий вид: каждое из этих чисел записывается тремя простыми слагаемыми — $$9 = 3 + 3 + 3$$ , $$11 = 3 + 3 + 5$$ , $$13 = 3 + 3 + 7$$ , $$15 = 5 + 5 + 5$$ , $$17 = 5 + 5 + 7$$ , $$19 = 5 + 7 + 7$$ .

Ответ

7 = 2 + 5; 9 = 2 + 7; 11 = 3 + 3 + 5; 13 = 2 + 11; 15 = 2 + 13; 17 = 3 + 3 + 11; 19 = 2 + 17. Каждое нечётное число больше 5 — сумма трёх простых чисел

Почему так

Нечётное число может быть суммой двух простых, только если одно из слагаемых — 2, иначе понадобятся три слагаемых.

Подробнее — в теме «Разложение числа на простые множители».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Представить чётные числа, большие 2, но меньшие 20, в виде суммы с наименьшим числом простых слагаемых (слагаемые могут повторяться); сформулировать предположение.

Решение

Чётные числа от 4 до 18 — составные, и каждое удаётся записать суммой двух простых чисел:

$$4 = 2 + 2$$ , $$6 = 3 + 3$$ , $$8 = 3 + 5$$ , $$10 = 3 + 7$$ (или $$5 + 5$$ ), $$12 = 5 + 7$$ , $$14 = 3 + 11$$ (или $$7 + 7$$ ), $$16 = 3 + 13$$ (или $$5 + 11$$ ), $$18 = 5 + 13$$ (или $$7 + 11$$ ).

Одним слагаемым обойтись нельзя, потому что все эти числа составные, значит, два — наименьшее число слагаемых.

Предположение: каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел. (Это знаменитая гипотеза Гольдбаха: её проверили для огромного количества чисел, но до сих пор не доказали.)

Ответ

4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7; 12 = 5 + 7; 14 = 3 + 11; 16 = 3 + 13; 18 = 5 + 13. Каждое чётное число больше 2 — сумма двух простых чисел

Почему так

Чётное составное число нельзя записать одним простым слагаемым, а двумя простыми слагаемыми — удаётся для каждого из проверенных чисел.

Подробнее — в теме «Разложение числа на простые множители».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки