Проверь себя: Арифметическая прогрессия

Последовательности

Последовательность задана формулой $$a_n = 10 - 3n$$ . Чему равен $$a_4$$ ?

А)7
Б)−2
В)1
Г)28

Показать ответ

Ответ: Б) −2

$a_4 = 10 - 3 \cdot 4 = 10 - 12 = -2$ .

Последовательности

Какие последовательности конечные?

А)Трёхзначные числа в порядке возрастания
Б)Натуральные числа, кратные 7
В)Дни недели по номерам от 1 до 7
Г)Дроби 1/2, 1/3, 1/4, … без конца

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Трёхзначные числа в порядке возрастания; В) Дни недели по номерам от 1 до 7

Трёхзначных чисел 900, дней недели 7 — у этих последовательностей есть последний член. Кратных 7 и дробей вида $\dfrac{1}{n}$ бесконечно много.

Последовательности

Какой член последовательности идёт сразу после $a_{2n}$ ?

А)a₂ₙ₊₂
Б)a₂ₙ₊₁
В)a₂₍ₙ₊₁₎
Г)a₃ₙ

Показать ответ

Ответ: Б) a₂ₙ₊₁

Номер следующего члена на 1 больше номера данного, $$2n + 1$$ .

Последовательности

Последовательность задана условиями $$x_1 = 5$$ , $x_{n+1} = x_n - 4$ . Найдите $$x_4$$ .

Показать ответ

Ответ: -7

$$x_2 = 1$$ , $$x_3 = -3$$ , $$x_4 = -7$$ .

Последовательности

Чем является график последовательности на координатной плоскости?

А)Отдельными точками с натуральными абсциссами
Б)Сплошной линией
В)Прямой, проходящей через начало координат
Г)Лучом, выходящим из точки (1; a₁)

Показать ответ

Ответ: А) Отдельными точками с натуральными абсциссами

Номер $$n$$ принимает только натуральные значения 1, 2, 3, …, поэтому график — набор отдельных точек $(n;\ a_n)$ .

Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена

В арифметической прогрессии $$a_1 = 5$$ , $$d = -2$$ . Чему равен $$a_4$$ ?

А)−1
Б)−3
В)1
Г)11

Показать ответ

Ответ: А) −1

$$a_4 = a_1 + 3d = 5 - 6 = -1$$ — шагов от первого члена до четвёртого три, а не четыре.

Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена

Какие наборы чисел — подряд идущие члены арифметической прогрессии?

А)Числа 3; 7; 11; 15
Б)Числа 1; 4; 9; 16
В)Числа 5; 5; 5; 5
Г)Числа 2; 4; 8; 16
Д)Числа 10; 9,5; 9; 8,5

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Числа 3; 7; 11; 15; В) Числа 5; 5; 5; 5; Д) Числа 10; 9,5; 9; 8,5

Разность соседних чисел должна быть одной и той же — 4, 0 и −0,5 в верных наборах; у квадратов и степеней двойки разности растут.

Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена

В арифметической прогрессии $$a_2 = 7$$ , $$a_4 = 15$$ . Найдите $$a_3$$ .

Показать ответ

Ответ: 11

Средний член — среднее арифметическое соседей, $a_3 = \dfrac{7 + 15}{2} = 11$ .

Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена

Прогрессия задана формулой $$a_n = 6 - 2n$$ . Чему равна её разность?

А)6
Б)−2
В)4
Г)2

Показать ответ

Ответ: Б) −2

$a_{n+1} - a_n = 6 - 2(n + 1) - (6 - 2n) = -2$ — разность равна коэффициенту при $$n$$ .

Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена

В арифметической прогрессии $$a_1 = 3$$ , $$d = 4$$ . Какой номер у члена, равного 43?

Показать ответ

Ответ: 11

$$3 + 4(n - 1) = 43$$ , $$n - 1 = 10$$ , $$n = 11$$ .

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Чему равна сумма $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ ?

А)4950
Б)5000
В)5050
Г)10 100

Показать ответ

Ответ: В) 5050

Пар с суммой $$1 + 100 = 101$$ ровно 50, поэтому $S = 101 \cdot 50 = 5050$ .

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии $$a_1 = 3$$ , $a_{10} = 21$ . Найдите $S_{10}$ .

Показать ответ

Ответ: 120

$S_{10} = \dfrac{3 + 21}{2} \cdot 10 = 120$ .

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Какие формулы верно выражают сумму первых $$n$$ членов арифметической прогрессии?

А)Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2
Б)Sₙ = (a₁ + aₙ) · n
В)Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n / 2
Г)Sₙ = (a₁ + nd) · n / 2

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2; В) Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n / 2

Верны $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ и, после подстановки $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$ , $S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$ . Без деления на 2 получится удвоенная сумма.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Чему равна сумма первых $$n$$ нечётных чисел $1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)$ ?

А)Числу n
Б)Числу 2n
В)Квадрату числа n
Г)Произведению n(n + 1)

Показать ответ

Ответ: В) Квадрату числа n

$S_n = \dfrac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = n^2$ .

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Найдите сумму $5 + 8 + 11 + \ldots + 32$ .

Показать ответ

Ответ: 185

Здесь $$d = 3$$ , $$32 = 5 + 3(n - 1)$$ , $$n = 10$$ . $S_{10} = \dfrac{5 + 32}{2} \cdot 10 = 185$ .