Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Самоиндукция — это возникновение индукционного тока в катушке (и в любом проводнике), когда меняется сила тока в ней самой. Этот ток мешает изменению основного тока: замедляет его рост и поддерживает при убывании. Магнитное поле тока обладает энергией:
Подробное объяснение
Попробуйте щёлкнуть выключателем старого пылесоса или дрели: иногда внутри выключателя видна искорка. Откуда она, если в розетке обычное напряжение, а контакты только расходятся? Ответ — в самоиндукции.
Откуда берётся ток самоиндукции
Вы уже знаете: если магнитный поток через катушку меняется, в ней возникает индукционный ток. Обычно поток меняют снаружи — двигают магнит. Но ток в катушке сам создаёт магнитное поле, которое пронизывает её витки. Значит, когда меняется ток в катушке, меняется и поток через неё. В катушке появляется индукционный ток — его называют током самоиндукции.
По правилу Ленца этот ток противодействует причине, которая его вызвала, то есть изменению основного тока:
- при замыкании цепи ток растёт, а ток самоиндукции мешает росту — ток нарастает не мгновенно, а плавно;
- при размыкании ток убывает, а ток самоиндукции стремится его поддержать.
Если две одинаковые лампы подключить параллельно — одну через резистор, другую через катушку с сердечником, — то при замыкании первая загорится сразу, а вторая с заметной задержкой.
Индуктивность
Одни катушки «сопротивляются» изменению тока сильно, другие почти незаметно. Это свойство описывает индуктивность \(L\) (коэффициент самоиндукции). Она зависит от формы и размеров катушки, числа витков и наличия сердечника: железный сердечник увеличивает её во много раз. Единица индуктивности в СИ — генри (Гн).
Самоиндукция есть в любом проводнике, но у прямого провода или катушки из нескольких витков без сердечника индуктивность мала, и ток самоиндукции почти не заметен.
Энергия магнитного поля
При размыкании цепи источник уже отключён, а ток самоиндукции ещё течёт и может даже зажечь неоновую лампу, которой не хватало напряжения источника. Значит, энергия запасена в самом магнитном поле катушки. Накопилась она при замыкании: источник совершал работу, преодолевая ток самоиндукции. Энергия магнитного поля:
Здесь \(L\) — индуктивность в генри, \(I\) — сила тока в амперах, \(W\) — энергия в джоулях. Энергия растёт пропорционально квадрату тока: при вдвое большем токе она в 4 раза больше.
Как решать задачи
- Выпишите «Дано» и переведите все величины в СИ: индуктивность в Гн (1 мГн = 0,001 Гн), ток в А, энергию в Дж.
- Если нужна энергия — подставьте в \(W = \dfrac{LI^2}{2}\), не забыв возвести ток в квадрат.
- Если нужен ток — выразите \(I = \sqrt{\dfrac{2W}{L}}\); если индуктивность — \(L = \dfrac{2W}{I^2}\).
- Если ток меняется, найдите энергию для начального и конечного тока отдельно и вычтите.
- В качественных вопросах решите, растёт ток или убывает, и примените правило Ленца: ток самоиндукции мешает изменению.
- Проверьте ответ на здравый смысл: у школьной катушки с сердечником энергия — доли джоуля или несколько джоулей.
Разобранные примеры
Энергия поля электромагнита
Обмотка электромагнита имеет индуктивность 0,6 Гн, через неё течёт ток 2 А. Какая энергия запасена в магнитном поле?
- \(L = 0{,}6\) Гн
- \(I = 2\) А
- \(W\)
\(W = \dfrac{LI^2}{2} = \dfrac{0{,}6 \cdot 2^2}{2} = \dfrac{0{,}6 \cdot 4}{2} = 1{,}2\) Дж.
Ток по энергии поля
В катушке индуктивностью 50 мГн запасена энергия магнитного поля 0,1 Дж. Какой ток течёт через катушку?
- \(L = 50\) мГн \(= 0{,}05\) Гн
- \(W = 0{,}1\) Дж
- \(I\)
Выразим ток: \(I = \sqrt{\dfrac{2W}{L}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}1}{0{,}05}} = \sqrt{4} = 2\) А.
Какая катушка запасла больше энергии
Через катушку индуктивностью 0,3 Гн идёт ток 2 А, а через катушку индуктивностью 1,2 Гн — ток 1 А. У второй катушки индуктивность в 4 раза больше. Значит ли это, что в ней больше энергии?
- \(L_1 = 0{,}3\) Гн
- \(I_1 = 2\) А
- \(L_2 = 1{,}2\) Гн
- \(I_2 = 1\) А
- \(W_1\)
- \(W_2\)
\(W_1 = \dfrac{0{,}3 \cdot 2^2}{2} = 0{,}6\) Дж, \(W_2 = \dfrac{1{,}2 \cdot 1^2}{2} = 0{,}6\) Дж.
Индуктивность второй катушки больше в 4 раза, но ток в ней меньше в 2 раза, а энергия зависит от квадрата тока — это уменьшение тоже в 4 раза. Эффекты компенсируют друг друга.
Типичные ошибки
Ток самоиндукции противодействует не самому току, а его изменению. При росте тока он действительно направлен навстречу, а при убывании — в ту же сторону, что и основной ток, и поддерживает его.
Сначала определите, растёт ток или убывает. Растёт — ток самоиндукции направлен против основного; убывает — вдоль него.
Формула \(W = LI^2/2\) содержит квадрат силы тока и множитель \(\frac{1}{2}\). Если записать \(W = LI\) или \(W = LI^2\), ответ получится неверным в разы.
Сначала вычислите \(I^2\), умножьте на \(L\) и только потом разделите на 2. Проверьте размерность: Гн · А² = Дж.
Ток самоиндукции возникает, только пока меняется ток и, значит, магнитный поток. Когда ток установился, поток постоянен, и самоиндукции нет — катушка ведёт себя как обычный проводник со своим сопротивлением.
Ищите самоиндукцию в моменты включения, выключения или любого изменения тока.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
В чём заключается явление самоиндукции?
Показать ответ
Ответ: Б) В возникновении индукционного тока в катушке при изменении силы тока в ней самой
При самоиндукции изменяющийся магнитный поток создаёт ток самой катушки, а не внешний магнит.
-
Как изменится энергия магнитного поля катушки, если силу тока в ней увеличить в 2 раза?
Показать ответ
Ответ: Б) Увеличится в 4 раза
Энергия \(W = LI^2/2\) пропорциональна квадрату тока, \(2^2 = 4\).
-
От чего зависит индуктивность катушки?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) От числа витков; Б) От наличия железного сердечника; В) От формы и размеров катушки
Индуктивность — свойство самой катушки; она определяется её устройством и не зависит от источника.
-
Через катушку индуктивностью 0,1 Гн течёт ток 2 А. Какова энергия магнитного поля в джоулях?
Показать ответ
Ответ: 0,2
\(W = \dfrac{LI^2}{2} = \dfrac{0{,}1 \cdot 4}{2} = 0{,}2\) Дж.
-
При размыкании цепи с катушкой неоновая лампа, подключённая параллельно катушке, ярко вспыхивает. За счёт какой энергии?
Показать ответ
Ответ: В) Энергии магнитного поля катушки
После размыкания источник отключён, и ток самоиндукции поддерживается за счёт убывающей энергии магнитного поля катушки.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Через катушку индуктивностью 0,4 Гн течёт ток 5 А. Какова энергия магнитного поля катушки?
Подсказка
Энергия поля равна половине произведения индуктивности на квадрат силы тока.
Решение
\(W = \dfrac{LI^2}{2} = \dfrac{0{,}4 \cdot 5^2}{2} = \dfrac{0{,}4 \cdot 25}{2} = 5\) Дж.
Ответ
Две одинаковые лампы подключили к одному источнику параллельно — одну через резистор, другую через катушку с железным сердечником. Сопротивления ветвей одинаковы. Какая лампа загорится позже при замыкании ключа и почему?
Подсказка
Вспомните, что происходит в катушке, когда ток в ней начинает расти.
Решение
При замыкании ток в обеих ветвях начинает расти. В катушке растущий ток создаёт растущий магнитный поток, и в ней возникает ток самоиндукции, который мешает росту основного тока. У катушки с сердечником индуктивность большая, поэтому ток в её ветви нарастает медленно. У резистора индуктивность мала, и ток устанавливается почти сразу.
Ответ
Энергия магнитного поля катушки индуктивностью 0,2 Гн равна 0,9 Дж. Какой ток течёт через катушку?
Подсказка
Выразите силу тока из формулы энергии магнитного поля.
Решение
Из \(W = \dfrac{LI^2}{2}\) получаем \(I = \sqrt{\dfrac{2W}{L}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}9}{0{,}2}} = \sqrt{9} = 3\) А.
Ответ
При токе 4 А в катушке запасена энергия магнитного поля 2 Дж. Найдите индуктивность катушки.
Решение
Из \(W = \dfrac{LI^2}{2}\) получаем \(L = \dfrac{2W}{I^2} = \dfrac{2 \cdot 2}{4^2} = \dfrac{4}{16} = 0{,}25\) Гн.
Ответ
Ток в катушке индуктивностью 0,5 Гн увеличили с 2 А до 6 А. На сколько возросла энергия её магнитного поля? Почему энергия выросла не в 3 раза, хотя ток вырос в 3 раза?
Решение
\(W_1 = \dfrac{LI_1^2}{2} = \dfrac{0{,}5 \cdot 2^2}{2} = 1\) Дж, \(W_2 = \dfrac{LI_2^2}{2} = \dfrac{0{,}5 \cdot 6^2}{2} = 9\) Дж.
\(\Delta W = W_2 - W_1 = 9 - 1 = 8\) Дж. Энергия пропорциональна квадрату тока, поэтому при утроении тока она растёт в \(3^2 = 9\) раз.
Ответ
Если резко выключить мощный электромагнит рубильником, между контактами рубильника проскакивает искра, хотя напряжение источника всего 24 В. Объясните, откуда берётся энергия искры и почему её не бывает при включении.
Решение
Пока через обмотку течёт ток, в её магнитном поле запасена энергия \(W = LI^2/2\). При размыкании ток быстро падает, возникает сильный ток самоиндукции, который стремится поддержать убывающий ток. Напряжение на обмотке становится во много раз больше 24 В и пробивает воздух между расходящимися контактами — так энергия поля переходит в энергию искры. При включении ток самоиндукции мешает росту тока, и напряжение на обмотке не превышает напряжения источника, поэтому искры нет.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Сравните катушку с тяжёлой тележкой: её трудно сразу разогнать и трудно сразу остановить. Так и ток в катушке: не может мгновенно вырасти и мгновенно исчезнуть. Индуктивность играет роль «массы» тележки, а энергия магнитного поля — роль энергии движения. Если дома есть старый выключатель с искрой или реле, которое щёлкает, — это хороший повод обсудить, откуда берётся искра при выключении.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему лампа, включённая через катушку с сердечником, загорается с опозданием? 2) От чего зависит индуктивность катушки? 3) Во сколько раз изменится энергия поля, если ток уменьшить в 3 раза?
На что обратить внимание. Ребёнок должен понимать, что ток самоиндукции мешает изменению тока, а не току вообще, и помнить, что энергия поля зависит от квадрата силы тока.