Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебательной системы.
Подробное объяснение
Почему качели раскачивает слабый толчок
Попробуйте раскачать человека на качелях. Если толкать как попало — то в такт, то навстречу движению — качели почти не раскачаются, сколько сил ни трать. Если же толкать ровно в тот момент, когда качели уходят от вас, даже лёгкие толчки быстро сделают размах огромным. Это и есть резонанс.
Собственная частота и частота силы
У любой колебательной системы — маятника, груза на пружине, моста, вагона на рессорах — есть собственная частота \(\nu_0\). С ней система колеблется сама, если её вывести из равновесия и отпустить (свободные колебания). У маятника она зависит от длины нити: чем короче нить, тем больше частота.
Если на систему действует периодическая внешняя сила, система совершает вынужденные колебания с частотой этой силы \(\nu\). Амплитуда таких колебаний (после того как они установятся) зависит от того, насколько \(\nu\) близка к \(\nu_0\).
Пока частота силы гораздо меньше или гораздо больше собственной, амплитуда небольшая. По мере приближения \(\nu\) к \(\nu_0\) она растёт и становится наибольшей при \(\nu = \nu_0\). Это явление называется резонансом.
Почему амплитуда растёт
При резонансе сила всё время «попадает в такт»: её направление в любой момент совпадает с направлением движения тела. Значит, сила всё время совершает положительную работу и пополняет энергию системы. При несовпадении частот сила часть времени толкает навстречу движению и отнимает энергию обратно.
Важно: резонанс бывает только у вынужденных колебаний. У свободных колебаний внешней периодической силы нет — нечему «попадать в такт».
Величины и единицы
- \(\nu_0\) — собственная частота системы, в герцах (Гц). 1 Гц — одно колебание в секунду.
- \(\nu\) — частота вынуждающей силы, тоже в герцах.
- \(T_0 = \dfrac{1}{\nu_0}\) — собственный период, в секундах. При резонансе толчки повторяются через время \(T_0\).
- \(A\) — амплитуда, наибольшее отклонение от положения равновесия, в метрах или сантиметрах.
Польза и вред
Резонанс помогает получить большие колебания малой силой: раскачать качели, тяжёлый язык колокола, настроить радиоприёмник. Но он же опасен. Мост может раскачаться от шагов идущих в ногу людей, вагон — от ударов колёс на стыках рельсов, станок — от вращающихся деталей. Поэтому по мостам ходят не в ногу, станки ставят на массивные фундаменты, а конструкции рассчитывают так, чтобы их собственные частоты не совпадали с частотами внешних воздействий.
Как решать задачи
- Найдите собственную частоту или период системы. Если дан период, \(\nu_0 = \dfrac{1}{T_0}\).
- Найдите частоту или период вынуждающей силы: как часто повторяются толчки, удары, шаги.
- Запишите условие резонанса: \(\nu = \nu_0\) или, что то же самое, время между толчками равно \(T_0\).
- Если толчки связаны с движением (стыки рельсов, неровности дороги), время между ними \(t = \dfrac{L}{v}\), где \(L\) — расстояние между толчками, \(v\) — скорость.
- Выразите нужную величину, подставьте числа и проверьте, разумен ли ответ.
Разобранные примеры
Частота по периоду
Груз на пружине, если его оттянуть и отпустить, совершает одно колебание за 0,25 с. С какой частотой нужно покачивать точку подвеса, чтобы груз раскачался сильнее всего?
- \(T_0 = 0{,}25\) с
- \(\nu\)
Сильнее всего груз раскачается при резонансе, когда \(\nu = \nu_0\):
Стиральная машина
Корпус стиральной машины на пружинах имеет собственную частоту колебаний 12 Гц. Барабан с неравномерно разложенным бельём при каждом обороте толкает корпус. При какой частоте вращения барабана (в оборотах в минуту) машина будет трястись сильнее всего?
- \(\nu_0 = 12\) Гц
- \(n\) в об/мин
Один оборот — один толчок, значит, частота силы равна частоте вращения. Резонанс при \(\nu = \nu_0 = 12\) об/с.
В минуте 60 секунд: \(n = 12 \cdot 60 = 720\) об/мин.
Искусственные неровности на дороге
На дороге через каждые 6 м сделаны поперечные неровности. Собственная частота колебаний кузова автомобиля на подвеске 2 Гц. При какой скорости кузов будет раскачиваться сильнее всего?
- \(L = 6\) м
- \(\nu_0 = 2\) Гц
- \(v\)
Собственный период кузова \(T_0 = \dfrac{1}{\nu_0} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\) с.
Время между толчками — время проезда 6 м: \(t = \dfrac{L}{v}\). При резонансе \(t = T_0\):
Это \(12 \cdot 3{,}6 = 43{,}2\) км/ч — обычная городская скорость, так что эффект вполне реален.
Типичные ошибки
Большая сила, приложенная не в такт, может дать совсем малую амплитуду: часть времени она толкает навстречу движению и гасит колебания.
Резонанс определяется совпадением частот \(\nu = \nu_0\), а не величиной силы. При резонансе даже малая сила даёт большой размах.
Маятник, который отпустили и больше не трогают, колеблется свободно. Внешней периодической силы нет, сравнивать нечего.
Понятие резонанса применимо только к вынужденным колебаниям. Сначала убедитесь, что есть периодическая внешняя сила и известна её частота.
Если собственный период 0,5 с, а ученик пишет «резонанс при частоте 0,5 Гц», он ошибается в 4 раза: частота 0,5 Гц соответствует периоду 2 с.
Сравнивайте однородные величины: частоту с частотой (\(\nu = \nu_0\)) или период с периодом (время между толчками \(= T_0\)). Переход — по формуле \(\nu = \dfrac{1}{T}\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
При каком условии наступает резонанс?
Показать ответ
Ответ: Б) Частота вынуждающей силы равна собственной частоте системы
Резонанс — резкий рост амплитуды вынужденных колебаний при \(\nu = \nu_0\).
-
Какие примеры — вредное проявление резонанса?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Раскачивание вагона на стыках рельсов; В) Раскачивание моста шагающими в ногу людьми
Качели и колокол раскачивают резонансом нарочно — это польза. Вагон и мост раскачиваются против желания людей.
-
Собственный период колебаний маятника 0,5 с. При какой частоте вынуждающей силы (в герцах) наступит резонанс?
Показать ответ
Ответ: 2
\(\nu = 1/T_0 = 1/0{,}5 = 2\) Гц.
-
Что происходит с амплитудой вынужденных колебаний, если частоту силы увеличивать дальше, чем собственная частота?
Показать ответ
Ответ: В) Уменьшается
Амплитуда максимальна при \(\nu = \nu_0\), а при удалении частоты в любую сторону уменьшается.
-
Как можно избежать опасного резонанса?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Идти по мосту не в ногу; Б) Поставить станок на массивный фундамент; Г) Изменить темп ходьбы с полным ведром
Нужно, чтобы частоты не совпадали или чтобы система плохо раскачивалась. Увеличение силы толчков только усилит колебания.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Период собственных колебаний груза на пружине 0,2 с. С какой частотой нужно дёргать верхний конец пружины, чтобы наступил резонанс?
Подсказка
Резонанс — когда частота толчков равна собственной частоте. Частота — величина, обратная периоду.
Решение
\(\nu = \nu_0 = \dfrac{1}{T_0} = \dfrac{1}{0{,}2} = 5\) Гц.
Ответ
Можно ли говорить о резонансе, если качели качаются сами, после одного толчка, и их никто больше не трогает?
Решение
Нет. После одного толчка качели совершают свободные колебания. Резонанс бывает только у вынужденных колебаний — когда на систему периодически действует внешняя сила.
Ответ
Собственный период качелей 2,5 с. Сколько толчков в минуту нужно делать, чтобы раскачать их сильнее всего, толкая каждый раз, когда качели возвращаются?
Подсказка
Интервал между толчками равен собственному периоду.
Решение
Толкать нужно через \(T_0 = 2{,}5\) с. За \(t = 60\) с получится \(N = \dfrac{t}{T_0} = \dfrac{60}{2{,}5} = 24\) толчка.
Ответ
На натянутой верёвке висят три маятника длиной 30 см, 50 см и 80 см. Четвёртый маятник длиной 50 см раскачали. Какой из трёх будет качаться с наибольшей амплитудой?
Подсказка
Собственная частота маятника определяется его длиной.
Решение
Раскачанный маятник действует на остальные через верёвку с частотой своих колебаний. Та же собственная частота только у маятника той же длины — 50 см. Он колеблется в резонанс, его амплитуда наибольшая.
Ответ
Поезд идёт по рельсам длиной 25 м. На стыках вагон получает толчки. Период собственных колебаний вагона на рессорах 1 с. При какой скорости поезда раскачивание будет сильнее всего?
Подсказка
Время между толчками — это время, за которое вагон проезжает один рельс.
Решение
Резонанс, если время между толчками равно собственному периоду: \(t = T_0\). Время проезда одного рельса \(t = \dfrac{L}{v}\), откуда \(v = \dfrac{L}{T_0} = \dfrac{25}{1} = 25\) м/с (90 км/ч).
Ответ
Собственная частота качелей 0,4 Гц. Папа толкает их только через раз — при каждом втором возвращении к нему. Через какие промежутки времени он толкает? Раскачаются ли качели?
Подсказка
Сначала найдите собственный период. Толчок через целое число периодов всё равно попадает в такт.
Решение
Собственный период \(T_0 = \dfrac{1}{\nu_0} = \dfrac{1}{0{,}4} = 2{,}5\) с. Толчок через раз — через \(2T_0 = 5\) с. Каждый толчок приходится на тот же момент движения, что и раньше, — по направлению движения качелей. Энергия пополняется, качели раскачаются, только медленнее, чем при толчке каждый период.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Привяжите к нитке ключи или гайку и держите нитку за верхний конец. Сначала быстро и беспорядочно дёргайте рукой — ключи почти не раскачиваются. Потом покачивайте руку медленно, в такт собственным качаниям ключей — размах быстро растёт. Затем укоротите нитку: «удобный» темп станет быстрее. Это и есть резонанс: колебания растут, когда частота толчков совпадает с собственной частотой системы.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему по мосту советуют идти не в ногу? 2) Собственный период качелей 3 с — через сколько секунд их нужно подталкивать? 3) Бывает ли резонанс у маятника, который качается сам по себе?
На что обратить внимание. Ребёнок должен различать свободные и вынужденные колебания и понимать, что резонанс — это совпадение частот, а не «очень сильный толчок». В расчётах чаще всего путают частоту и период.