Почему свободные колебания маятника в реальных условиях затухают?

Механическая энергия переходит во внутреннюю из-за трения и сопротивления

Уменьшается масса груза

Сила тяжести постепенно уменьшается

Уменьшается период колебаний

Какие колебания являются вынужденными?

Колебания иглы швейной машины

Колебания поршня в работающем двигателе

Колебания отпущенного маятника часов с остановившимся механизмом

Колебания ветки после того, как с неё слетела птица

В каком случае колебания одинаковых маятников с одинаковым начальным запасом энергии затухнут быстрее всего?

В сосуде, из которого откачан воздух

Какие утверждения о вынужденных колебаниях верны?

Они не затухают, пока действует вынуждающая сила

Установившаяся частота равна частоте вынуждающей силы

Их совершают только колебательные системы

Их амплитуда сразу после начала всегда максимальна

Затухающие и вынужденные колебания

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Величины, характеризующие колебательное движение

Коротко о главном

Свободные колебания всегда затухают: механическая энергия расходуется на работу против трения и сопротивления и переходит во внутреннюю. Чтобы колебания не затухали, на тело должна действовать периодически меняющаяся внешняя сила — тогда колебания называют вынужденными.

\nu_{\text{уст}} = \nu_{\text{силы}}

Подробное объяснение

Толкните качели один раз и отойдите. Сначала они размашисто летают туда-сюда, но каждый следующий размах чуть меньше, и через пару минут качели останавливаются. Куда делась энергия толчка?

Почему колебания затухают

Когда маятник раскачивается, его потенциальная энергия переходит в кинетическую и обратно. Если бы потерь не было, полная механическая энергия $$E = E_п + E_к$$ оставалась бы постоянной. Тогда маятник колебался бы вечно с одной и той же амплитудой.

В жизни на маятник всегда действуют сила трения в подвесе и сила сопротивления воздуха. Маятник совершает работу против этих сил, и часть механической энергии переходит во внутреннюю — подвес и воздух чуть нагреваются. Энергия становится меньше, поэтому уменьшается и амплитуда. Такие колебания называют затухающими.

Чем больше сила сопротивления, тем быстрее затухают колебания. Маятник в воде останавливается гораздо раньше, чем в воздухе.

Колебания, которые происходят только за счёт начального запаса энергии, называют свободными. Любые свободные колебания рано или поздно затухают, ведь запас энергии не пополняется.

Вынужденные колебания

Чтобы качели не останавливались, их надо подталкивать — каждый раз в такт колебаниям. Толчок совершает работу и возвращает энергию, потерянную на трение.

Вынужденные колебания — это колебания, которые тело совершает под действием внешней периодически изменяющейся силы. Саму эту силу называют вынуждающей.

Если начать раскачивать неподвижные качели, амплитуда сначала растёт: за период толчок приносит больше энергии, чем уходит на трение. Но с ростом размаха растут и потери. Когда энергия, теряемая за период, сравняется с энергией, которую приносит сила, амплитуда перестаёт расти. Говорят, что колебания установились.

Главное свойство: частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. Если мотор трясёт стол 20 раз в секунду, стол колеблется с частотой 20 Гц, какой бы ни была его «своя» частота.

Вынужденные колебания могут совершать и тела, которые сами по себе колебательной системой не являются: игла швейной машины, поршень в двигателе, пила-лобзик. Их двигает механизм, и частота колебаний задаётся им.

Вынужденные колебания не затухают — они идут, пока действует вынуждающая сила.

Величины и единицы

Энергия $$E$$ и работа $$A$$ — в джоулях (Дж). Потери энергии $$Q = E_1 - E_2$$ .
Частота $\nu$ — в герцах (Гц): число колебаний за секунду.
Период $$T$$ — в секундах (с), $T = \dfrac{1}{\nu}$ .

Как решать задачи

Определите, какие колебания в задаче: свободные (толкнули и отпустили) или вынужденные (действует периодическая внешняя сила).
Для свободных колебаний сравните энергию в начале и в конце: разница — это энергия, перешедшая во внутреннюю.
В крайней точке вся механическая энергия маятника потенциальная ( $$E = mgh$$ ), в положении равновесия — кинетическая.
Для вынужденных колебаний найдите частоту силы: число толчков, оборотов или ударов разделите на время в секундах. Это и есть частота установившихся колебаний.
Если колебания незатухающие, работа внешней силы за период равна потерям энергии за период.
Проверьте единицы и разумность ответа.

Разобранные примеры

База

Сколько энергии «съело» трение

Условие

Груз массой 0,5 кг на нити отвели так, что он поднялся на 8 см над нижней точкой, и отпустили. Через некоторое время груз в крайней точке поднимается лишь на 4 см. Сколько механической энергии перешло во внутреннюю? Примите $$g = 10$$ Н/кг.

Дано

$$m = 0{,}5$$ кг
$h_1 = 0{,}08$ м
$h_2 = 0{,}04$ м

Найти

$$Q$$

Решение

В крайней точке скорость равна нулю, вся энергия — потенциальная.

$E_1 = mgh_1 = 0{,}5 \cdot 10 \cdot 0{,}08 = 0{,}4$ Дж.

$E_2 = mgh_2 = 0{,}5 \cdot 10 \cdot 0{,}04 = 0{,}2$ Дж.

$Q = E_1 - E_2 = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2$ Дж.

Ответ: 0,2 Дж

Средний

Вибрация от стиральной машины

Условие

Барабан стиральной машины при отжиме делает 900 оборотов в минуту, и корпус машины мелко дрожит. С какой частотой колеблется корпус и сколько колебаний он совершит за 2 минуты отжима?

Дано

$$N = 900$$ об
$$t_1 = 60$$ с
$$t_2 = 120$$ с

Найти

$\nu$
$$n$$

Решение

Вынуждающая сила меняется с частотой вращения барабана: $\nu = \dfrac{N}{t_1} = \dfrac{900}{60} = 15$ Гц.

Корпус колеблется с той же частотой. За 2 минуты: $n = \nu t_2 = 15 \cdot 120 = 1800$ колебаний.

Ответ: 15 Гц; 1800 колебаний

Сложный

Энергия, нужная качелям

Условие

Качели за одно колебание теряют на трение 30 Дж энергии, период колебаний 2,5 с. Какую работу должен совершать каждый толчок (раз в период), чтобы размах не менялся? Какая средняя мощность для этого нужна?

Дано

$$Q = 30$$ Дж
$$T = 2{,}5$$ с

Найти

$$A$$
$$N$$

Решение

Амплитуда постоянна, когда за период подводится столько же энергии, сколько теряется: $$A = Q = 30$$ Дж.

Средняя мощность: $N = \dfrac{A}{T} = \dfrac{30}{2{,}5} = 12$ Вт.

Ответ: 30 Дж; 12 Вт

Типичные ошибки

Считают, что при затухании энергия исчезает

Почему неверно

Энергия не исчезает — это нарушало бы закон сохранения энергии. Уменьшается только механическая энергия.

Как правильно

Механическая энергия переходит во внутреннюю энергию подвеса, воздуха, самого маятника. Полная энергия всех тел сохраняется.

Думают, что вынужденные колебания идут со «своей» частотой тела

Почему неверно

Своя частота есть у свободных колебаний. Установившиеся вынужденные колебания подчиняются внешней силе.

Как правильно

Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы, а не собственной частоте системы.

Путают свободные и вынужденные колебания по одному толчку

Почему неверно

Один толчок — не периодическая сила. После него тело колеблется за счёт полученного запаса энергии.

Как правильно

Колебания после одного толчка — свободные (и затухающие). Вынужденными они становятся, только если сила действует периодически, всё время.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Маятник отклонили и отпустили, сообщив ему запас механической энергии 0,6 Дж. Через минуту его полная механическая энергия стала 0,25 Дж. Сколько энергии перешло во внутреннюю?

Подсказка

Механическая энергия не исчезает, а переходит во внутреннюю энергию маятника и воздуха.

Решение

$Q = E_1 - E_2 = 0{,}6 - 0{,}25 = 0{,}35$ Дж.

Ответ

0,35 Дж

База Задача 2

Два одинаковых груза на одинаковых пружинах отклонили на одно и то же расстояние и отпустили. Один колеблется в воздухе, другой — в стакане с подсолнечным маслом. Чьи колебания прекратятся раньше и почему?

Решение

Сила сопротивления масла намного больше, чем воздуха. Поэтому груз в масле за каждый период теряет больше механической энергии, и его колебания затухнут быстрее.

Ответ

Груза в масле

Средний Задача 3

Шарик массой 0,2 кг на нити отвели так, что он поднялся на 5 см над нижней точкой, и отпустили. Через несколько колебаний шарик поднимается только на 3 см. Сколько механической энергии перешло во внутреннюю? Примите $$g = 10$$ Н/кг.

Подсказка

В крайней точке вся механическая энергия шарика — потенциальная, $$E_п = mgh$$ .

Решение

Дано

$$m = 0{,}2$$ кг
$h_1 = 0{,}05$ м
$h_2 = 0{,}03$ м

Найти

$$Q$$

$E_1 = mgh_1 = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 0{,}05 = 0{,}1$ Дж, $E_2 = mgh_2 = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 0{,}03 = 0{,}06$ Дж.

$Q = E_1 - E_2 = 0{,}04$ Дж.

Ответ

0,04 Дж

Средний Задача 4

Вал электродвигателя делает 1200 оборотов в минуту и из-за небольшой несбалансированности раскачивает стол, на котором стоит. С какой частотой и с каким периодом колеблется стол, когда колебания установились?

Подсказка

Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы.

Решение

Вынуждающая сила меняется с частотой вращения вала: $\nu = \dfrac{1200}{60} = 20$ Гц.

Стол колеблется с той же частотой, период $T = \dfrac{1}{\nu} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05$ с.

Ответ

20 Гц; 0,05 с

Сложный Задача 5

Качели с ребёнком за каждое колебание теряют на трение 24 Дж механической энергии. Период колебаний 3 с. Какую работу должен совершать взрослый при каждом толчке (один толчок за период), чтобы размах не менялся? Какова средняя мощность, которую он развивает?

Подсказка

Колебания не затухают, если за период подводится столько же энергии, сколько теряется.

Решение

Дано

$$Q = 24$$ Дж за период
$$T = 3$$ с

Найти

$$A$$
$$N$$

Размах постоянен, если работа толчка восполняет потери: $$A = Q = 24$$ Дж.

Средняя мощность $N = \dfrac{A}{T} = \dfrac{24}{3} = 8$ Вт.

Ответ

24 Дж; 8 Вт

Сложный Задача 6

Мальчик толкает качели не в такт, а в случайные моменты — иногда навстречу их движению. Будут ли колебания качелей вынужденными? Удастся ли так раскачать качели сильно?

Решение

Колебания под действием внешней силы — вынужденные, но вынуждающая сила должна меняться периодически. Случайные толчки не образуют периодической силы; толчок навстречу движению совершает отрицательную работу и отнимает энергию. Поэтому качели будут дёргаться неравномерно, и сильно раскачать их не получится — энергия то добавляется, то забирается.

Ответ

Правильных вынужденных колебаний не будет, сильно раскачать не удастся

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Подвесьте на нитке ключ или гайку и отпустите — размах постепенно тает. Опустите такой же маятник в банку с водой — он остановится почти сразу. Потом поддерживайте колебания лёгкими толчками пальцем в такт: размах перестанет уменьшаться. Это и есть вынужденные колебания.

Вопросы для проверки понимания: 1) Куда девается энергия маятника, когда он останавливается? 2) Почему в воде колебания затухают быстрее, чем в воздухе? 3) С какой частотой будет колебаться тело, если его подталкивать 3 раза в секунду?

На что обратить внимание. Ребёнок должен понимать, что затухание связано с переходом механической энергии во внутреннюю, а не с «исчезновением» энергии, и что частоту вынужденных колебаний задаёт внешняя сила.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 26	25