Определение координаты движущегося тела

Зачем считать, если можно нарисовать

Представьте, что друг пишет: «Я в 300 метрах от школы по улице Ленина, иду дальше в сторону парка, пройду ещё 450 метров — встречай». Можно нарисовать улицу и отложить стрелку, а можно просто сложить: 300 + 450 = 750 метров от школы. Второй способ быстрее, точнее и работает, даже когда чисел много. Но складывать надо не стрелки, а числа, а числа бывают со знаком. В этом и состоит главная идея параграфа.

Ось, начало отсчёта, координата

Чтобы описывать положение числом, вдоль прямой, по которой движется тело, проводят координатную ось \(OX\). Нужно выбрать две вещи:

1. Начало отсчёта — точку \(O\), где координата равна нулю. Обычно её совмещают с телом отсчёта: пристанью, остановкой, мостом.
2. Направление оси — куда «растут» координаты. Его тоже выбирают сами, как удобнее; часто — вдоль движения одного из тел.

После этого положение любого тела на прямой задаётся одним числом — координатой \(x\). Она может быть отрицательной: это значит, что тело находится по другую сторону от начала отсчёта.

Проекция перемещения

С векторами напрямую не считают — считают с их проекциями. Проекция вектора перемещения \(\vec{s}\) на ось \(OX\) обозначается \(s_x\) и находится так: опускаем перпендикуляры из начала и конца вектора на ось и смотрим на получившийся отрезок. Правило знака простое:

• вектор направлен туда же, куда ось, — \(s_x > 0\);
• вектор направлен против оси — \(s_x < 0\).

Если тело движется вдоль оси (а в задачах этого параграфа так и есть), модуль проекции равен модулю перемещения: \(|s_x| = s\). То есть от «стрелки длиной 60 км на восток» при оси, направленной на восток, остаётся число \(+60\) км, а от «стрелки 50 км на запад» — число \(-50\) км.

Главная формула

Координата тела в конце движения:

Здесь \(x_0\) — координата начального положения, \(s_x\) — проекция перемещения, \(x\) — координата конечного положения. Все три величины измеряют в метрах (или километрах — главное, в одних единицах). Формула работает всегда, потому что знак проекции уже «знает», в какую сторону сдвинулось тело: при \(s_x > 0\) координата растёт, при \(s_x < 0\) — уменьшается.

Если тел два и они на одной оси, расстояние между ними — модуль разности координат:

Модуль нужен, потому что расстояние не бывает отрицательным, а разность может получиться любой в зависимости от того, какое тело мы назвали первым.

Как решать задачи

1. Нарисуйте прямую, вдоль которой движутся тела. Выберите начало отсчёта \(O\) (обычно тело отсчёта из условия) и направление оси. Запишите свой выбор — от него зависят все знаки.
2. Найдите начальную координату \(x_0\) каждого тела: расстояние от \(O\) со знаком «плюс», если тело на положительной полуоси, и «минус» — если на отрицательной.
3. Переведите каждое перемещение в проекцию: модуль из условия, знак — по направлению относительно оси.
4. Подставьте в \(x = x_0 + s_x\) и получите координату каждого тела.
5. Если нужно расстояние между телами — возьмите модуль разности координат.
6. Проверьте ответ по рисунку: тело, которое двигалось против оси, должно оказаться левее, чем было.