Проверь себя: Подобные треугольники

Подобные треугольники

Треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны, $$AB = 5$$ см, $$A_1B_1 = 15$$ см. Чему равен коэффициент подобия $k = \dfrac{AB}{A_1B_1}$ ?

А) $\dfrac{1}{3}$
Б) $$3$$
В) $$10$$
Г) $\dfrac{5}{3}$

Показать ответ

Ответ: А) $\dfrac{1}{3}$

$k = \dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$ . Если взять отношение в обратном порядке, получится 3 — важно, какой треугольник записан первым.

Подобные треугольники

Какие утверждения верны?

А)У подобных треугольников соответственные углы равны
Б)Сходственные стороны лежат против равных углов
В)Подобные треугольники всегда равны
Г)Два равных треугольника подобны с коэффициентом 1

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) У подобных треугольников соответственные углы равны; Б) Сходственные стороны лежат против равных углов; Г) Два равных треугольника подобны с коэффициентом 1

Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но могут быть разного размера. Равные треугольники — частный случай подобных, $$k = 1$$ .

Отношение площадей подобных треугольников

Треугольники подобны с коэффициентом 3. Как относятся их площади?

А)3 : 1
Б)6 : 1
В)9 : 1
Г)27 : 1

Показать ответ

Ответ: В) 9 : 1

Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, $$3^2 = 9$$ .

Отношение площадей подобных треугольников

Площади двух подобных треугольников равны 16 см² и 25 см². Найдите коэффициент подобия большего треугольника к меньшему.

Показать ответ

Ответ: 1,25

$k^2 = \dfrac{25}{16}$ , $k = \dfrac{5}{4} = 1{,}25$ .

Первый признак подобия треугольников

Сколько пар равных углов достаточно найти у двух треугольников, чтобы утверждать, что они подобны?

А)Одну
Б)Две
В)Три, и ещё проверить стороны
Г)Углы ничего не решают, нужны стороны

Показать ответ

Ответ: Б) Две

Если равны два угла, третьи углы равны автоматически (сумма углов $180^\circ$ ), и по первому признаку треугольники подобны.

Первый признак подобия треугольников

Какие треугольники обязательно подобны?

А)Два равносторонних треугольника
Б)Два прямоугольных треугольника
В)Два прямоугольных треугольника с равным острым углом
Г)Два равнобедренных треугольника с равными углами при вершине
Д)Два равнобедренных треугольника

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Два равносторонних треугольника; В) Два прямоугольных треугольника с равным острым углом; Г) Два равнобедренных треугольника с равными углами при вершине

В вариантах 1, 3 и 4 совпадают по два угла. У произвольных прямоугольных или равнобедренных треугольников известен лишь один равный угол (или ни одного) — этого мало.

Второй признак подобия треугольников

Что нужно проверить, чтобы применить второй признак подобия?

А)Две стороны пропорциональны, и равны углы между ними
Б)Две стороны пропорциональны, и равны любые два угла
В)Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого
Г)Равны два угла

Показать ответ

Ответ: А) Две стороны пропорциональны, и равны углы между ними

Второй признак — пропорциональность двух сторон и равенство угла, заключённого между ними. Равенство двух углов — это первый признак.

Второй признак подобия треугольников

У треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $\angle A = \angle A_1$ , $$AB = 3$$ , $$AC = 5$$ , $$A_1B_1 = 6$$ . Какой должна быть сторона $$A_1C_1$$ , чтобы треугольники были подобны с $$A_1B_1$$ , сходственной $$AB$$ ?

Показать ответ

Ответ: 10

Нужно $\dfrac{A_1C_1}{AC} = \dfrac{A_1B_1}{AB} = 2$ , то есть $$A_1C_1 = 10$$ .

Третий признак подобия треугольников

Подобны ли треугольники со сторонами 2, 3, 4 и 4, 6, 8?

А)Да, все стороны второго вдвое больше
Б)Нет, стороны разные
В)Нельзя сказать без углов

Показать ответ

Ответ: А) Да, все стороны второго вдвое больше

$\dfrac{4}{2} = \dfrac{6}{3} = \dfrac{8}{4} = 2$ — по третьему признаку треугольники подобны, углы проверять не нужно.

Третий признак подобия треугольников

Стороны треугольника равны 3, 4 и 6. Наименьшая сторона подобного ему треугольника равна 9. Найдите наибольшую сторону подобного треугольника.

Показать ответ

Ответ: 18

Коэффициент подобия $\dfrac{9}{3} = 3$ , наибольшая сторона $3 \cdot 6 = 18$ .

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника равна…

А)Стороне, которой она параллельна
Б)Половине стороны, которой она параллельна
В)Половине любой стороны
Г)Трети стороны, которой она параллельна

Показать ответ

Ответ: Б) Половине стороны, которой она параллельна

Средняя линия параллельна третьей стороне (той, концов которой она не касается) и равна её половине.

Замечательные точки треугольника

Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения…

А)Медиан
Б)Биссектрис
В)Серединных перпендикуляров к сторонам
Г)Высот

Показать ответ

Ответ: В) Серединных перпендикуляров к сторонам

Центр описанной окружности равноудалён от вершин, а такие точки лежат на серединных перпендикулярах к сторонам.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ проведена высота $$CD$$ . Чему равно $$CD^2$$ ?

А)AD · DB
Б)AC · BC
В)AD + DB
Г)AB · AD

Показать ответ

Ответ: А) AD · DB

Высота из вершины прямого угла — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы, $CD^2 = AD \cdot DB$ .

Подобие в задачах на построение и измерение

В чём состоит метод подобия в задачах на построение?

А)Сначала строят треугольник, подобный искомому, затем по линейному элементу — сам искомый
Б)Сразу строят треугольник по трём сторонам
В)Строят два равных треугольника и сравнивают их
Г)Измеряют углы транспортиром и вычисляют стороны

Показать ответ

Ответ: А) Сначала строят треугольник, подобный искомому, затем по линейному элементу — сам искомый

Углы или отношения сторон задают форму треугольника, а один отрезок (биссектриса, высота, сторона) — его размер.

Синус, косинус и тангенс острого угла

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой. Чему равен $\cos A$ ?

А) $\dfrac{BC}{AB}$
Б) $\dfrac{AC}{AB}$
В) $\dfrac{BC}{AC}$
Г) $\dfrac{AC}{BC}$

Показать ответ

Ответ: Б) $\dfrac{AC}{AB}$

Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе; к углу $$A$$ прилежит катет $$AC$$ , гипотенуза — $$AB$$ .