Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 23

Упражнение 594 к § 23

§ 23. Теорема Виета · тема: Теорема Виета

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каких значениях x верно равенство (3x + 1)² = 3x + 1?

Решение

Перенесём всё влево и вынесем общий множитель:

(3x + 1)^2 - (3x + 1) = 0, \qquad (3x + 1)(3x + 1 - 1) = 0, \qquad 3x(3x + 1) = 0.

$$x = 0$$ или $$3x + 1 = 0$$ , $x = -\dfrac{1}{3}$ .

Ответ

0; −1/3

Почему так

Равенство сводится к квадратному уравнению или к равенству чисел с равными квадратами: a² = b² ⇔ a = b или a = −b.

Подробнее — в теме «Неполные квадратные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) При каких значениях x верно равенство (3x + 1)² = 3(x + 1)?

Решение

$$9x^2 + 6x + 1 = 3x + 3$$ , $$9x^2 + 3x - 2 = 0$$ .

$$D = 9 + 72 = 81$$ , $x = \dfrac{-3 \pm 9}{18}$ , $x_1 = -\dfrac{2}{3}$ , $x_2 = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ

−2/3; 1/3

Почему так

Равенство сводится к квадратному уравнению или к равенству чисел с равными квадратами: a² = b² ⇔ a = b или a = −b.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) При каких значениях x верно равенство (3x + 1)² = (2x − 5)²?

Решение

Квадраты равны, когда сами числа равны или противоположны.

$$3x + 1 = 2x - 5$$ , $$x = -6$$ ; или $$3x + 1 = -(2x - 5)$$ , $$5x = 4$$ , $$x = 0{,}8$$ .

Ответ

−6; 0,8

Почему так

Равенство сводится к квадратному уравнению или к равенству чисел с равными квадратами: a² = b² ⇔ a = b или a = −b.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) При каких значениях x верно равенство (3x + 4)² = 4(x + 3)?

Решение

$$9x^2 + 24x + 16 = 4x + 12$$ , $$9x^2 + 20x + 4 = 0$$ .

$\dfrac{D}{4} = 100 - 36 = 64$ , $x = \dfrac{-10 \pm 8}{9}$ , $$x_1 = -2$$ , $x_2 = -\dfrac{2}{9}$ .

Ответ

−2; −2/9

Почему так

Равенство сводится к квадратному уравнению или к равенству чисел с равными квадратами: a² = b² ⇔ a = b или a = −b.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) При каких значениях x верно равенство 4(x + 3)² = (2x + 6)²?

Решение

$(2x + 6)^2 = \big(2(x + 3)\big)^2 = 4(x + 3)^2$ — правая часть тождественно равна левой.

Равенство верно при любом $$x$$ .

Ответ

При любом x

Почему так

Равенство сводится к квадратному уравнению или к равенству чисел с равными квадратами: a² = b² ⇔ a = b или a = −b.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) При каких значениях x верно равенство (6x + 3)² = (x − 4)²?

Решение

$$6x + 3 = x - 4$$ , $$5x = -7$$ , $x = -\dfrac{7}{5} = -1\dfrac{2}{5}$ ; или $$6x + 3 = -(x - 4)$$ , $$7x = 1$$ , $x = \dfrac{1}{7}$ .

Ответ

−1 2/5; 1/7

Почему так

Равенство сводится к квадратному уравнению или к равенству чисел с равными квадратами: a² = b² ⇔ a = b или a = −b.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки