Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 35

Упражнение 880 к § 35

§ 35. Свойства числовых неравенств · тема: Свойства числовых неравенств

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение (8x² − 3)/5 − (5 − 9x²)/4 = 2. (Упражнение для повторения.)

Решение

Умножим обе части на $$20$$ :

\[4(8x^2 - 3) - 5(5 - 9x^2) = 40,\]

32x^2 - 12 - 25 + 45x^2 = 40, \qquad 77x^2 = 77, \qquad x^2 = 1.

$$x_1 = -1$$ , $$x_2 = 1$$ .

Ответ

−1; 1

Почему так

После умножения на общий знаменатель 20 получается неполное квадратное уравнение x² = 1.

Подробнее — в теме «Неполные квадратные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 2/(x² − x + 1) − 1/(x + 1) = (2x − 1)/(x³ + 1). (Упражнение для повторения.)

Решение

$$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$ — общий знаменатель. Трёхчлен $$x^2 - x + 1$$ нулю не равен ( $$D = 1 - 4 < 0$$ ), поэтому допустимы все $x \ne -1$ .

Умножим обе части на $$x^3 + 1$$ :

\[2(x + 1) - (x^2 - x + 1) = 2x - 1,\]

2x + 2 - x^2 + x - 1 - 2x + 1 = 0, \qquad -x^2 + x + 2 = 0, \qquad x^2 - x - 2 = 0.

$$x_1 = 2$$ , $$x_2 = -1$$ .

При $$x = -1$$ знаменатель $$x + 1$$ обращается в нуль — это посторонний корень.

Ответ

Почему так

Дробное уравнение решают умножением на общий знаменатель с последующей проверкой посторонних корней.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 10/(x² − 4) − 3/(2x − 4) = 1/2. (Упражнение для повторения.)

Решение

$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ , $$2x - 4 = 2(x - 2)$$ . Общий знаменатель $$2(x - 2)(x + 2)$$ , допустимы $x \ne \pm 2$ .

Умножим обе части на $$2(x - 2)(x + 2)$$ :

\[20 - 3(x + 2) = x^2 - 4,\]

20 - 3x - 6 - x^2 + 4 = 0, \qquad x^2 + 3x - 18 = 0.

$$D = 9 + 72 = 81$$ , $x = \dfrac{-3 \pm 9}{2}$ , получаем $$x_1 = -6$$ , $$x_2 = 3$$ .

Оба корня не равны $\pm 2$ .

Ответ

−6; 3

Почему так

Дробное уравнение приводится к квадратному умножением на общий знаменатель; посторонних корней нет.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение x − (x² − 17)/(x − 3) = 5/x. (Упражнение для повторения.)

Решение

Допустимы $x \ne 0$ и $x \ne 3$ . Умножим обе части на $$x(x - 3)$$ :

\[x^2(x - 3) - x(x^2 - 17) = 5(x - 3),\]

\[x^3 - 3x^2 - x^3 + 17x = 5x - 15,\]

-3x^2 + 12x + 15 = 0, \qquad x^2 - 4x - 5 = 0.

$$x_1 = -1$$ , $$x_2 = 5$$ (по теореме Виета: сумма $$4$$ , произведение $$-5$$ ). Оба корня допустимы.

Ответ

−1; 5

Почему так

После умножения на x(x − 3) кубы сокращаются и получается квадратное уравнение; оба корня допустимы.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки