Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 28

Упражнение 587 к § 28

§ 28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии · тема: Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему 9x² + 9y² = 13, 3xy = 2.

Решение

Из системы $x^2 + y^2 = \dfrac{13}{9}$ , $xy = \dfrac{2}{3}$ . Тогда

(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = \dfrac{13}{9} + \dfrac{12}{9} = \dfrac{25}{9}, \quad x + y = \pm\dfrac{5}{3}.

Если

x + y = \dfrac{5}{3}

xy = \dfrac{2}{3}

, то

\(x\)

\(y\)

— корни

\(3t^2 - 5t + 2 = 0\)

, это

\(t = 1\)

t = \dfrac{2}{3}

. Пары

\left(1;\ \dfrac{2}{3}\right)

\left(\dfrac{2}{3};\ 1\right)

Если $x + y = -\dfrac{5}{3}$ , то корни $$3t^2 + 5t + 2 = 0$$ , это $$t = -1$$ и $t = -\dfrac{2}{3}$ . Пары $\left(-1;\ -\dfrac{2}{3}\right)$ и $\left(-\dfrac{2}{3};\ -1\right)$ .

Ответ

(2/3; 1), (−2/3; −1), (1; 2/3), (−1; −2/3)

Почему так

Симметричная система решается через x + y и xy.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему x² + y² = 29, y² − 4x² = 9.

Решение

Вычтем второе уравнение из первого: $$5x^2 = 20$$ , $$x^2 = 4$$ , $x = \pm 2$ .

Тогда $$y^2 = 29 - 4 = 25$$ , $y = \pm 5$ . Подходят все четыре сочетания знаков.

Ответ

(2; 5), (2; −5), (−2; 5), (−2; −5)

Почему так

Способ сложения: вычитание уравнений убирает y² и даёт x².

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему 2x² + xy = 6, 3x² + xy − x = 6.

Решение

Вычтем первое уравнение из второго: $$x^2 - x = 0$$ , $$x(x - 1) = 0$$ , $$x = 0$$ или $$x = 1$$ .

При $$x = 0$$ первое уравнение даёт $$0 = 6$$ — неверно.

При $$x = 1$$ получаем $$2 + y = 6$$ , $$y = 4$$ . Проверка во втором: $$3 + 4 - 1 = 6$$ .

Ответ

(1; 4)

Почему так

Способ сложения: при вычитании уравнений слагаемое xy пропадает.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему 3x² − 2y² = 25, x² − y² + y = 5.

Решение

Из второго уравнения $$x^2 = y^2 - y + 5$$ . Подставим в первое:

3(y^2 - y + 5) - 2y^2 = 25, \quad y^2 - 3y - 10 = 0, \quad y = 5 \text{ или } y = -2.

При

\(y = 5\)

получаем

\(x^2 = 25 - 5 + 5 = 25\)

x = \pm 5

При $$y = -2$$ получаем $$x^2 = 4 + 2 + 5 = 11$$ , $x = \pm\sqrt{11}$ .

Ответ

(5; 5), (−5; 5), (√11; −2), (−√11; −2)

Почему так

Способ подстановки: x² выражается из второго уравнения целиком.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки