Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 4

Упражнение 61 к § 4

§ 4. Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире · тема: Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сколько решений имеет уравнение 25/x = 2x − 5?

Решение

Область допустимых значений: $x \ne 0$ . Умножаем обе части на $$x$$ :

$$25 = 2x^2 - 5x$$ , $$2x^2 - 5x - 25 = 0$$ .

$$D = 25 + 200 = 225$$ , $x = \dfrac{5 \pm 15}{4}$ , то есть $$x_1 = 5$$ , $x_2 = -2{,}5$ .

Оба корня не равны нулю, значит, подходят.

Ответ

Два решения (x = 5 и x = −2,5)

Почему так

Дробное уравнение сводится к квадратному с положительным дискриминантом, и ни один корень не обращает знаменатель в нуль.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сколько решений имеет уравнение x³ = |x|?

Решение

Рассмотрим два случая.

Если $x \ge 0$ , то $$|x| = x$$ , и $$x^3 = x$$ , $$x(x^2 - 1) = 0$$ , откуда $$x = 0$$ , $$x = 1$$ или $$x = -1$$ . Условию $x \ge 0$ удовлетворяют $$0$$ и $$1$$ .

Если $$x < 0$$ , то $$|x| = -x$$ , и $$x^3 = -x$$ , $$x(x^2 + 1) = 0$$ . Так как $$x^2 + 1 > 0$$ , остаётся $$x = 0$$ , но он не подходит под $$x < 0$$ .

Итак, корни $$0$$ и $$1$$ .

Ответ

Два решения (x = 0 и x = 1)

Почему так

Модуль раскрываем по знаку x; при x < 0 левая часть отрицательна, а правая положительна, поэтому корней нет.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки