а) Изобразите схематически график функции y = ax + 5 при a < 0.
Решение
Линейная функция: график — прямая. Свободный член \(5\) — прямая проходит через \((0;\ 5)\). Угловой коэффициент \(a < 0\) — функция убывает, прямая идёт вниз слева направо и пересекает ось \(x\) правее нуля, в точке \(x = -\dfrac{5}{a} > 0\).
Схема: убывающая прямая через точку \((0;\ 5)\) на положительной полуоси \(y\); проходит через I, II и IV четверти.
Ответ
убывающая прямая через (0; 5)
Почему так
Знак k задаёт наклон прямой, b — точку пересечения с осью y.
б) Изобразите схематически график функции y = 10x + b при b > 0.
Решение
Прямая с угловым коэффициентом \(10 > 0\) — круто возрастает. Пересекает ось \(y\) в точке \((0;\ b)\) выше начала координат, ось \(x\) — левее нуля, в точке \(x = -\dfrac{b}{10} < 0\).
Схема: круто идущая вверх прямая через точку на положительной полуоси \(y\); проходит через I, II и III четверти.
Ответ
круто возрастающая прямая через (0; b), b > 0
Почему так
Знак k задаёт наклон прямой, b — точку пересечения с осью y.
в) Изобразите схематически график функции y = k/x при k > 0.
Решение
Обратная пропорциональность с \(k > 0\): гипербола из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат. Ветви приближаются к осям, но не пересекают их; на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\) функция убывает.
Ответ
гипербола, ветви в I и III четвертях
Почему так
При k > 0 ветви гиперболы лежат в I и III четвертях.
г) Изобразите схематически график функции y = k/x при k < 0.
Решение
Обратная пропорциональность с \(k < 0\): гипербола, ветви во II и IV четвертях, симметричны относительно начала координат, к осям приближаются, но не пересекают их; на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\) функция возрастает.
Ответ
гипербола, ветви во II и IV четвертях
Почему так
При k < 0 ветви гиперболы лежат во II и IV четвертях.
ж) Изобразите схематически график функции y = ax² + bx при a > 0, b > 0.
Решение
\(a > 0\) — ветви вверх. Нули: \(x(ax + b) = 0\), \(x = 0\) и \(x = -\dfrac{b}{a} < 0\) — парабола проходит через начало координат и через точку на отрицательной полуоси \(x\).
Вершина посередине между нулями: \(x_0 = -\dfrac{b}{2a} < 0\), \(y_0 = -\dfrac{b^2}{4a} < 0\) — в III четверти.
Схема: парабола ветвями вверх, вершина левее и ниже начала координат, правая ветвь проходит через \((0;\ 0)\).
Ответ
парабола ветвями вверх через (0; 0), вершина в III четверти
Почему так
Знак a задаёт направление ветвей, нули ax² + bx — это 0 и −b/a.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).