Задание 6

Ответ: в XIX веке.

Пятый постулат пытались доказать начиная с III века до н. э. Каждая попытка неявно опиралась на другое утверждение, равносильное самому постулату (например, «сумма углов треугольника равна \(180^\circ\)» или «через точку вне прямой проходит не больше одной параллельной»).

В 1826 году русский математик Николай Иванович Лобачевский выступил с докладом, а в 1829 году опубликовал работу о новой геометрии. В ней все аксиомы Евклида, кроме пятого постулата, сохранены, а пятый постулат заменён противоположным: через точку вне прямой проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Развивая эту геометрию, Лобачевский не пришёл ни к какому противоречию и сделал вывод: пятый постулат не следует из остальных аксиом — иначе новая геометрия обязательно содержала бы противоречие. Независимо к тем же идеям пришли венгерский математик Янош Бойяи (опубликовал в 1832 году) и немецкий математик Карл Гаусс (не публиковал).

Окончательное строгое доказательство непротиворечивости такой геометрии было получено во второй половине того же XIX века.

Дано: определение Евклида — прямой угол равен смежному с ним углу; определение учебника — прямой угол равен \(90^\circ\). Доказать: определения равносильны.

1. Из определения Евклида следует определение учебника. Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Если угол \(\alpha\) равен смежному с ним, то \(\alpha + \alpha = 180^\circ\), откуда \(\alpha = 90^\circ\).

2. Из определения учебника следует определение Евклида. Если \(\alpha = 90^\circ\), смежный с ним угол равен \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ = \alpha\).

Значит, определения описывают одни и те же углы и не противоречат друг другу. Разница только в подходе: Евклид определял прямой угол без измерения, через сравнение углов, а в учебнике используется градусная мера.

Пятый постулат Евклида: если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше \(180^\circ\), то эти прямые пересекаются, причём с той стороны от секущей, где лежат эти углы.

Разберём рисунки.

а) Угол \(\alpha\) — внутренний (между прямыми \(a\) и \(b\)) справа от секущей \(c\), угол \(\beta\) — внутренний, но слева от \(c\). Это не односторонние углы, а пара, похожая на накрест лежащие. Не подходит.

б) Оба угла внутренние (между \(a\) и \(b\)) и лежат по одну сторону от секущей \(c\) — справа. Это внутренние односторонние углы, \(\alpha + \beta < 180^\circ\), и прямые \(a\) и \(b\) на рисунке сближаются именно справа. Подходит.

в) Угол \(\alpha\) лежит над прямой \(a\), то есть вне полосы между \(a\) и \(b\) — он не внутренний. Не подходит.

Ответ свободный. Подходит любое утверждение, доказательство которого опирается на аксиому параллельных прямых, например:

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.
3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны (а также соответственные углы равны, сумма односторонних равна \(180^\circ\)).
4. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\) (доказывается через свойство накрест лежащих углов, то есть тоже через аксиому).

Пример доказательства (утверждение 1). Пусть \(a \parallel b\) и прямая \(c\) пересекает \(a\) в точке \(M\). Если бы \(c\) не пересекала \(b\), то \(c \parallel b\). Тогда через точку \(M\) проходили бы две прямые \(a\) и \(c\), параллельные \(b\), — это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, \(c\) пересекает \(b\).

Пример (утверждение 3). Пусть \(a \parallel b\), секущая пересекает их в точках \(A\) и \(B\), и накрест лежащие углы не равны. Через \(A\) проведём прямую \(a_1\) так, чтобы накрест лежащие углы стали равны; по признаку параллельности \(a_1 \parallel b\). Получились две разные прямые \(a\) и \(a_1\) через точку \(A\), параллельные \(b\), — противоречие с аксиомой. Значит, накрест лежащие углы равны.