Задание 1164

Дано: \(\triangle ABC\), \(AD\) — биссектриса, \(b = AC\), \(c = AB\). Доказать: \(AD = \dfrac{2bc}{b + c}\sqrt{\dfrac{1 + \cos A}{2}}\).

1. Как в задаче 1152, из равенства \(S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}\) по теореме о площади треугольника получаем \(AD = \dfrac{2bc\cos\dfrac{A}{2}}{b + c}\).

2. Выразим \(\cos\dfrac{A}{2}\) через \(\cos A\). Возьмём равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 1 и углом \(A\) при вершине. Его основание по теореме косинусов равно \(\sqrt{2 - 2\cos A}\), а половина основания — катет против угла \(\dfrac{A}{2}\) в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 1: \(\sin\dfrac{A}{2} = \dfrac{\sqrt{2 - 2\cos A}}{2}\), то есть \(\sin^2\dfrac{A}{2} = \dfrac{1 - \cos A}{2}\).

3. Тогда \(\cos^2\dfrac{A}{2} = 1 - \dfrac{1 - \cos A}{2} = \dfrac{1 + \cos A}{2}\), и так как \(\dfrac{A}{2} < 90^\circ\), \(\cos\dfrac{A}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \cos A}{2}}\).

4. Подставив, получаем \(AD = \dfrac{2bc}{b + c}\sqrt{\dfrac{1 + \cos A}{2}}\).

Дано: \(\triangle ABC\), \(AM\) — медиана, \(b = AC\), \(c = AB\). Доказать: \(AM = \dfrac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc\cos A}\).

1. \(M\) — середина \(BC\), поэтому \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\) (это частный случай задачи 1162 при \(k = 1\)).

2. Скалярный квадрат: \(AM^2 = \dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}^{\,2} + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}^{\,2}\right) = \dfrac{1}{4}(c^2 + 2bc\cos A + b^2)\).

3. Извлекая корень, получаем \(AM = \dfrac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc\cos A}\).