Задание 5

Введём координаты по клеткам сетки: левый нижний угол сетки \((0; 0)\), заготовка — квадрат от \((1; 1)\) до \((7; 7)\), держатель в центре \((4; 4)\). По рисунку:

Вкладыш № 1 — квадрат с вершинами \((1; 5)\), \((5; 7)\), \((7; 3)\), \((3; 1)\). Сторона по формуле расстояния: \(\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}\) см, площадь \(20\) см².

Вкладыш № 2 — параллелограмм с вершинами \((3; 7)\), \((7; 7)\), \((5; 1)\), \((1; 1)\). Основание 4 см, высота 6 см, площадь \(24\) см².

Вкладыш № 3 — шестиугольник \((1; 7)\), \((7; 7)\), \((6; 4)\), \((7; 1)\), \((1; 1)\), \((2; 4)\): квадрат \(6 \times 6\) клеток без двух треугольников с основанием 6 и высотой 1. Площадь \(36 - 2 \cdot 3 = 30\) см².

Площадь заготовки \(36\) см². Отходы: № 1 — \(36 - 20 = 16\) см², № 2 — \(36 - 24 = 12\) см², № 3 — \(36 - 30 = 6\) см².

Больше всего отходов у вкладыша № 1 — у него наименьшая площадь.

Вкладыш входит в форму, если поворот вокруг центра (держателя) переводит фигуру в себя. Считаем такие повороты на угол от \(0^\circ\) до \(360^\circ\), включая положение без поворота (\(0^\circ\)).

№ 1 — квадрат. Центр квадрата совпадает с держателем, поворот на \(90^\circ\) переводит каждую вершину в соседнюю. Подходят повороты на \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\) — 4 способа.

№ 2 — параллелограмм. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей, это держатель. Поворот на \(180^\circ\) (центральная симметрия) переводит параллелограмм в себя. Поворот на \(90^\circ\) — нет: стороны параллелограмма не перпендикулярны и не равны (4 клетки и \(\sqrt{40}\)). 2 способа.

№ 3 — шестиугольник. Верх и низ у него — прямые отрезки, а бока — с вырезами. Поворот на \(180^\circ\) переводит фигуру в себя, а при повороте на \(90^\circ\) прямой край встал бы на место выреза — не подходит. 2 способа.

Если вкладыши разрешено ещё и переворачивать, у № 1 способов 8 (добавляются 4 осевые симметрии квадрата), у № 3 — 4 (у него две оси симметрии), у № 2 остаётся 2: осей симметрии у параллелограмма нет.